Analytische Geometrie Ebenen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Ebene: 2x + 2x + 3x = 6

Frage: Geben sie die Gleichung einer Ebene an, die Sekrecht auf E steht und den Punkt: ( 1/1/1)enthält.

Problem/Ansatz:

Habe bereits die Spurpunkte der Ebene berechnet. (3/3/2), stehe aber auf dem Schlauch wie ich jetzt weiter vorgehen soll. Muss man hier mit dem Normalen-Vektor arbeiten, da die GLeichung ja Senkrecht zur Ebene stehen soll?

Answer 1

Gegeben ist die Ebene: 2x + 2x + 3x = 6

Frage: Geben sie die Gleichung einer Ebene an, die Sekrecht auf E steht und den Punkt: ( 1/1/1)enthält.

Ich vermute, dass hier eine "Gerade" gemeint ist, da es unendlich viele Ebenen als Lösung gäbe.

Der Normalenvektor der Ebene ist Richtungsvektor der Geraden.

$$ g: \vec x = \begin{pmatrix}1\\1\\1 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix} $$

Jede Ebene, die diese Gerade enthält, steht senkrecht auf der gegebenen Ebene. Es kann also ein beliebiger zweiter Richtungsvektor, der nicht Vielfaches des Normalenvektors ist, hinzugefügt werden. Z. B. :

$$ E^*: \vec x = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\7\end{pmatrix} $$

Für r=s=0 erhält man den Ortsvektor des gegebenen Punktes.

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Alternative Lösung:

Zwei Ebenen stehen sekrecht aufeinander, wenn ihre Normalenvektoren orthogonal verlaufen. Hier gibt es auch wieder unendlich viele Möglichkeiten, zum Beispiel:

$$ \vec n_1=\begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix} \rightarrow n_2=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$$

In Koordinatenform:

$$ x-y=c $$

Da der Punkt (1|1|1) in der Ebene liegen soll, erhält man c=0.

$$ E^*: x-y=0$$