0 Daumen
1k Aufrufe

Ich habe folgende Aufgabe in der ei und ej jeweils die Anstrengungen 2er Personen i und j sind. Die Personen stehen in einem Leistungsturnier und können mit der jeweiligen Anstrengung ihren Output qi bzw. qj erhöhen.

Der Output ist je gegeben durch qi = ei + epsilon_i + allgemeiner Störterm.


Es geht darum, dass P(ei,ej) die Wahrscheinlichkeit darstellt, dass das Output qi, welches von ei abhängt, größer ist, als der Output qj von ej.

Soweit alles kein Problem, aber die Übertragung des Ganzen in die Verteilungsfunktion verstehe ich nicht ganz.

Hier das Problem:

Statisches Modell nach Lazear \& Rosen (1981)
Annahmen:
E-Personen-Turnier und beide seien risikoneutral
\( \boldsymbol{m}_{i}=\boldsymbol{e}_{i}+\boldsymbol{\varepsilon}_{i}+\eta \quad(i=1,2) \)
\( q_{i} \) vom \( A G \) beobachtbar und \( e_{i} \) nicht beobachtbar \( \Leftrightarrow \) Rückschlussproblem)
\( \varepsilon_{1} \) und \( \varepsilon_{2} \) identisch und unabhängig voneinander zufallsverteilt
\( g(\cdot): \) Dichtefunktion, \( G(\cdot): \) Verteilungsfunktion
\( c\left(e_{i}\right): \) Arbeitsleid des \( i \) mit \( c^{\prime}(\cdot)>0 \) und \( c^{\prime \prime}(\cdot)>0 \)
\( P: \) Gewinnwahrscheinlichkeit
\( w_{1}: \) Turnierpreis für den Gewinner
\( w_{2}: \) Turnierpreis für den Verlierer \( \Delta w=w_{1}-w_{2}: \) Turnierpreisdifferenz

Kalkül des Agenten \( i \) Maximierung seines Erwartungsnutzens
\begin{aligned}
E U_{i}\left(e_{i}\right) &=P\left(e_{i}, e_{j}\right) \cdot\left[w_{1}-c\left(e_{i}\right)\right]+\left(1-P\left(e_{i}, e_{j}\right)\right)\left[w_{2}-c\left(e_{i}\right)\right] \\
&=P\left(e_{i}, e_{j}\right) \cdot w_{1}+\left(1-P\left(e_{i}, e_{j}\right)\right) w_{2}-c\left(e_{i}\right) \\
&=w_{2}+\Delta w \cdot P\left(e_{i}, e_{j}\right)-c\left(e_{i}\right) \rightarrow \max !
\end{aligned}

Gewinnwarhscheinlichkeit:

blob.png

Text erkannt:

\( \begin{aligned} P\left(e_{i}, e_{j}\right) &=\operatorname{Pr}\left\{q_{i}>q_{j}\right\} \\ &=\operatorname{Pr}\left\{\mathrm{e}_{i}+\varepsilon_{i}+\eta>e_{j}+\varepsilon_{j}+\eta\right\} \\ &=\operatorname{Pr}\left\{\varepsilon_{j}-\varepsilon_{i}<\mathrm{e}_{i}-\mathrm{e}_{j}\right\} \\ &=\operatorname{Pr}\left\{y<\mathrm{e}_{i}-\mathrm{e}_{j}\right\}=\mathrm{G}\left(e_{i}-\mathrm{e}_{j}\right) \end{aligned} \)

\( \mathrm{G}(\cdot) \) ist die Verteilungsfunktion der zusammengesetzten

Zufallsvariablen \( y=\varepsilon_{j}-\varepsilon_{i} \)


1. Frage: Was bedeutet die Pr Funktion?

2. Frage: Wie passt die Verteilungsfunktion da rein? Die Umstellung da verstehe ich nicht.


Hier das Ganze noch einmal als Bild zur besseren Lesbarkeit:

temp1.jpg

Avatar von

Hallo,

die Details zu Deinem Problem kenne ich nicht. Aber Deine beiden Fragen scheinen mir doch einfach zu sein:

- Pr bedeutet einfach Wahrscheinlichkeitsmaß, von probability

- Die Beziehung zu G ist einfach die Definition der Verteilungsfunktion

Oder?

Gruß

Das Pr sagte mir nichts, macht aber natürlich Sinn, danke.

Die Beziehung von G war mir unklar, hat sich aber noch erschlossen als ich mir die ML mal in Ruhe vorgenommen habe.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community