Leere Hülle im Untervektorraum. Bestimmen Sie eine Basis von U. Wie groß ist die Dimension von U?

Question

Aufgabe:

Zu folgenden Vektoren \( u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4} \) des R-Vektorraumes \( \mathbf{R}^{5} \) sei \( U=L H\left\{u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}\right\} \) der von diesen Elementen erzeugte Untervektorraum:

$$ u_{1}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad u_{2}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), \quad u_{3}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right), \quad u_{4}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ 7 \\ -2 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right) $$

Bestimmen Sie eine Basis von \( U \). Wie groß ist die Dimension von \( U \)?

Answer 1

Aloha :)

Schreibe die Vektoren in eine Matrix und bringe diese durch elementare Spaltenumformungen auf Dreicksform. Die von 0 verschiedenen Spalten bilden dann eine Basis:

$$\left(\begin{array}{r}&-2S_1 & -3S_1 & -4S_1\\1 & 2 & 3 & 4\\2 & 4 & 5 & 7\\-1 & -1 & -2 & -2\\ 1 & 0 & 0 & -1\\1 & 0 & 1 & 0\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}& & & -S_2-S_3\\1 & 0 & 0 & 0\\2 & 0 & -1 & -1\\-1 & 1 & 1 & 2\\ 1 & -2 & -3 & -5\\1 & -2 & -2 & -4\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}1 & 0 & 0 & 0\\2 & 0 & -1 & 0\\-1 & 1 & 1 & 0\\ 1 & -2 & -3 & 0\\1 & -2 & -2 & 0\end{array}\right)$$Jetzt kann man noch die Spalten 2 und 3 vertauschen$$\left(\begin{array}{r}1 & 0 & 0 & 0\\2 & -1 & 0 & 0\\-1 & 1 & 1 & 0\\ 1 & -3 & -2 & 0\\1 & -2 & -2 & 0\end{array}\right)$$Wir haben 3 linear unabhängige Basis-Vektoren gefunden, die Dimension des Unterraums ist daher \(3\).

Comments

Moin moin,

Ich hätte nochmal eine Frage und zwar wie erkennt man das es 3 lineare unabhängige Basis Vektoren sind?

Mit freundlichen Grüßen

Lumama

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Nachdem wir die Matrix auf Dreickform gebracht haben, bleiben 3 Spaltenvektoren übrig, die von 0 verschieden sind. Das sind die 3 linear unabhängigen Basisvektoren.