Mit der von dir gedachten Aufteilung geht es so:
$$2^2+4^2+6^2+\ldots+500^2-(1^2+3^2+5^2+\ldots +499^2)= \sum\limits_{k=1}^{250}{(2k)^2}-\sum\limits_{k=1}^{250}{(2k-1)^2}$$
$$ =\frac{2}{3}\cdot 250 \cdot(250 + 1) \cdot( 2 \cdot 250+1)-\frac{1}{3}\cdot 250 ( 4 \cdot 250^2-1)$$
$$ =125250 $$
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Oder so:
$$\sum\limits_{k=1}^{250}{(2k)^2}-\sum\limits_{k=1}^{250}{(2k-1)^2}$$
$$=\sum\limits_{k=1}^{250}\left({(2k)^2}-{(2k-1)^2}\right)$$
$$=\sum\limits_{k=1}^{250}\left({(2k)^2}-{((2k)^2-4k+1)}\right)$$
$$ =\sum\limits_{k=1}^{250}\left(4k-1\right) $$
$$ =4\sum\limits_{k=1}^{250}\left( k\right)-250 $$
$$ =4\cdot\frac{250\cdot 251}{2}-250 = 501\cdot 250=125250$$