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Hallo liebe Mathematiker!

Es ist zwar schon spät, aber ich hoffe hier trotzdem noch auf Hilfe. Ich muss morgen (Mittwoch) um 10:00 Uhr die Lösungen meiner Übungen hochladen und verzweifle an der Taylor-Entwicklung für Felder.

f(x,y)=(y+cos(y))*sin(x)   um den Entwicklungspunkt (pi/2 , 0)

Ich dachte, ich hätte die mehrdimensionale Taylor-Entwichlung verstanden, aber ich kriege es einfach nicht hin.

!!

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Aloha :)

Zur Berechnung des Taylor-Polynoms 2-ter Ordnung benötigen wir den Funktionswert und die partiellen Ableitungen bis zur 2-ten Ordnung am Entwicklungspunkt \((\pi/2\,|\,0)\):

$$\begin{array}{llrllr}f(x,y)&=&(y+\cos y)\sin x & \Rightarrow & f(\pi/2,0)&=&1\\f_x(x,y)&=&(y+\cos y)\cos x & \Rightarrow & f_x(\pi/2,0)&=&0\\f_y(x,y)&=&(1-\sin y)\sin x & \Rightarrow & f_y(\pi/2,0)&=&1\\f_{xx}(x,y)&=&-(y+\cos y)\sin x & \Rightarrow & f_{xx}(\pi/2,0)&=&-1\\f_{xy}(x,y)&=&(1-\sin y)\cos x & \Rightarrow & f_{xy}(\pi/2,0)&=&0\\f_{yy}(x,y)&=&-\cos y\sin x &\Rightarrow& f_{yy}(\pi/2,0)&=&-1\end{array}$$Die allgemeine Taylor-Formel lautet:$$f(\vec r)=e^{(\vec r-\vec r_0)\vec\nabla}f(\vec r_0)$$Für 2 Dimensionen ist \(\vec r=(x,y)\), sodass:$$f(x,y)=\exp\left(\binom{x-x_0}{y-y_0}\binom{\partial_x}{\partial_y}\right)f(x_0,y_0)$$$$\phantom{f(x,y)}=\sum\limits_{n=0}^n\frac{1}{n!}\left((x-x_0)\partial_x+(y-y_0)\partial_y\right)^nf(x_0,y_0)$$Wir sollen bis zur Ordnung \(n=2\) um \((\pi/2\,|\,0)\) entwickeln:

$$f_2(x,y)=f\left(\frac{\pi}{2},0\right)+f_x\left(\frac{\pi}{2},0\right)\cdot\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+f_y\left(\frac{\pi}{2},0\right)\cdot y$$$$\phantom{f_2(x,y)}+\frac{1}{2}f_{xx}\left(\frac{\pi}{2},0\right)\,\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2+f_{xy}\left(\frac{\pi}{2},0\right)\,\left(x-\frac{\pi}{2}\right)y+\frac{1}{2}f_{yy}\left(\frac{\pi}{2},0\right)\,y^2$$$$\phantom{f_2(x,y)}=1+0\cdot\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+1\cdot y$$$$\phantom{f_2(x,y)}+\frac{1}{2}(-1)\,\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2+0\cdot\left(x-\frac{\pi}{2}\right)y+\frac{1}{2}(-1)\,y^2$$$$\phantom{f_2(x,y)}=1+y-\frac{1}{2}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2-\frac{1}{2}y^2$$

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Die Merkregel mit der e-Funktion für die Taylorentwicklung hat mir zuerst Probleme gemacht. Aber als ich deine Rechnung verstanden hatte war plötzlich alles klar. Ich muss noch eine andere Taylorentwicklung machen. Das müsste ich jetzt eigentlich hinkriegen.

Vielen Dank für die Hilfe zu so später Stunde.

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