Aloha :)
Lol, die Aufgabe ist sehr schön... und wie es sich gehört, ist die Antwort \(42\) !!!
Also, du hast die folgenden Gleichungen gegeben:$$\begin{array}{l}ax&+&by&=&5\\ax^2&+&by^2&=&10\\ax^3&+&by^3&=&50\\ax^4&+&by^4&=&130\end{array}$$Und sollst nun den folgenden Wert \(W\) bestimmen:$$W=13(x+y-xy)-120(a+b)$$Ich musste ein wenig rumprobieren, bis ich den "Trick" gesehen habe. Wenn du alle Gleichungen, bis auf die letzte, mit \((x+y)\) multiplizierst, kannst du interessante Umformungen machen:
$$5(x+y)=(ax+by)(x+y)=ax^2+bxy+axy+by^2$$$$\phantom{5(x+y)}=\underbrace{(ax^2+by^2)}_{=10}+xy(a+b)=10+xy(a+b)$$$$10(x+y)=(ax^2+by^2)(x+y)=ax^3+by^2x+ax^2y+by^3$$$$\phantom{10(x+y)}=\underbrace{(ax^3+by^3)}_{=50}+xy\underbrace{(ax+bx)}_{=5}=50+5xy$$$$50(x+y)=(ax^3+by^3)(x+y)=ax^4+by^3x+ax^3y+by^4$$$$\phantom{10(x+y)}=\underbrace{(ax^4+by^4)}_{=130}+xy\underbrace{(ax^2+by^2)}_{=10}=130+10xy$$Wir fassen zusammen, was wir bis jetzt haben:$$\begin{array}{l}10&+&xy\cdot(a+b)&=&5(x+y)\\50&+&5xy&=&10(x+y)\\130&+&10xy&=&50(x+y)\end{array}$$Aus der doppelten 2-ten und der 3-ten Gleichung berechnen wir \((x+y)\):$$\left.\begin{array}{l}100&+&10xy&=&20(x+y)\\130&+&10xy&=&50(x+y)\end{array}\right\}\;\;\Rightarrow\;\;30=30(x+y)\;\;\Rightarrow\;\;\underline{(x+y)=1}$$Das setzen wir in die 2-te Gleichung ein:$$50+5xy=10(x+y)=10\;\;\Rightarrow\;\;5xy=-40\;\;\Rightarrow\;\;\underline{xy=-8}$$Mit diesen Ergebnissen gehen wir in die erste Gleichung:$$10+xy\cdot(a+b)=5(x+y)\;\;\Rightarrow\;\;10-8(a+b)=5\;\;\Rightarrow\;\;\underline{(a+b)=\frac{5}{8}}$$
Jetzt haben wir alles zusammen, um das \(W\) von oben zu berechnen:$$W=13(\underbrace{x+y}_{=1}-\underbrace{xy}_{=-8})-120(\underbrace{a+b}_{=5/8})=13\cdot9-120\cdot\frac{5}{8}=117-75=\boxed{42}$$
