Seien \( N, H \) Gruppen und \( \Theta: H \to \operatorname{Aut}(N) \) ein Homomorphismus. Wir betrachten das semidirekte Produkt \( N \rtimes_\Theta H \).
Dann wirkt doch \( H \) auf \( N \) via $$ H \times N \to N, (h,n) \mapsto \Theta(h)(n) $$
Jetzt gehen wir in dein Problem:
\( \mathbb{Z}/d \mathbb{Z} \) wirkt auf \( \mathbb{Z}/(q^d-1) \mathbb{Z} \) via \( (k,a) \mapsto q^ka \)
Wir identifizieren \( H = \mathbb{Z}/d \mathbb{Z} \), \( N = \mathbb{Z}/(q^d-1) \mathbb{Z} \), \( \Theta : \mathbb{Z}/d \mathbb{Z} \to \operatorname{Aut}\left( \mathbb{Z}/(q^d-1) \mathbb{Z}\right) \)
Wegen der gegebenen Wirkung ist \( \Theta(k)(a) = q^k a \), also
$$ \Theta : \mathbb{Z}/d \mathbb{Z} \to \operatorname{Aut}\left( \mathbb{Z}/(q^d-1)\mathbb{Z} \right), k \mapsto( a \mapsto q^k a ) $$
Die Abbildungen \( \varphi_{q^k,0} : a \mapsto q^k a \) sind Homomorphismen:
$$ \varphi_{q^k,0}(a+b) = q^k(a+b) = q^ka + q^kb = \varphi_{q^k,0}(a) + \varphi_{q^k,0}(b) $$
und bijektiv da \( q^k \in \left( \mathbb{Z}/(q^d-1)\mathbb{Z} \right)^* \).
\( \Theta \) ist ein Homomorphismus: $$ \Theta(k_1 + k_2) = \varphi_{q^{k_1 + k_2},0} = \varphi_{q^{k_1},0} \circ \varphi_{q^{k_2},0} = \Theta(k_1) \circ \Theta(k_2) $$