Schnittpunkt-/winkel Ebene mit Gerade bzw. Ebene mit Ebene

Question

Aufgabe:

E₂ : -2x + λ y + 3z = 4

g: \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 2\\1\\2 \end{pmatrix} \)  + η \( \begin{pmatrix} 3\\-1\\-1 \end{pmatrix} \)

E₃ : 4x₁ - 2x₂ + 3x₂ = 2

Wie groß ist der Winkel und an welchem Punkt schneiden sich die Ebene E₂ und die Gerade g ?

Bestimmen sie Schnittgerade und Schnittwinkel der Ebenen E₁ und E₃ ?

Für Denkanstöße, aber auch Lösungsvorschläge, wäre ich sehr dankbar!

Comments

Aloha :)

Es ist keine Ebene \(E_1\) angegeben.

Ist irgendwas über den Parameter \(\lambda\) ain \(E_2\) bekannt?

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oh! scheint wohl was verschütt gegangen zu sein :D

E1: 3x - y + 5z = 30

für λ = 9 ist E2 senkrecht zu E1

Answer 1

Der Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene α efüllt die Bedingnung α+β=90°, wenn β der Winkel zwischen der Normalen der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden ist.

Der Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen ist gleich dem Schnittwinkel zwischen den Normalen der Ebenen.

Answer 2

Winkel zwischen 2 Vektoren

(a)=arccos(a*b/(a)*(b))

Skalarprodukt a*b=ax*bx+ay*by+az*bz

Betrag eines Vektors (d)=Wurzel(x²+y²+z²)

(a)=Wurzel(ax²+ay²+az²)

(b)=Wurzel(bx²+by²+bz²)

Der Normalenvektor der Ebene E2: ist n(-1/a/3) und kann beliebig auf der Ebene verschoben werden.

Der Richtungsvektor der Geraden g:  schneidet sich dann mit dem Normalenvektor der Ebene.

Das der Normalenvektor der Ebene senkrecht (90° Winkel) auf der Ebene steht,ergibt sich daraus der Winkel zwischen Ebene und der Geraden.

Hier muß man beachten,dass man 2 Winkel hat: (a1)>90° und (a2)<90°

Gesucht ist,glaub ich der kleinere Winkel.

Schnittpunkt mit der Ebene und der Geraden: Gerade in die Ebenengleichung einsetzen

g: x=(2/1/2)+r*(3/-1/-1)

x-Richtung: x=2+r*3

y-Richtung: y=1+r*(-1)

z-Richtung: z=2+r*(-1)

-2*(2+r*3)+a*(1+r*(-1)+3*(2+r*(-1)-4=0  ausrechnen und umstellen

Schnittpunkt → a=...

Schnittwinkel von 2 Ebenen gergibt sich aus den beiden Normalenvektoren der beiden Ebenen

n1(n1x/n1y/n1z)  und n2(n2x/n2y/n2z)

Schnittwinkel (a)=arccos(n1*n2/(n1)*(n2))

Hier ein Beispiel:Schnittgerade von sich 2 schneidenen Ebenen

E1: 4*x+3*y+6*z=36  und E2: x=(0/0/3)+r*(3/2/-1)+s*(3/0/-1)

Koordinaten von E2:

x=3*r+3*s

y=2*r

z=3-1*r-1*s

eingesetzt in E1:

4*(3*r+3*s)+3*2*r+6*(3-r-s)=36

12*r+12*s+6*r+18-6*r-6*r=36

6*s=18-12*r

s=3-2*r

Bestimmung der Schnittgeraden:

g: x=(0/0/3)+r*((3/2/-1)+(3-2*r)*(3/0/-1)

g: x=(9/0/0)+r*(-3/2/1)

Ich hoffe,dass dies Beispiel dir bei deiner Aufgabe hilft.Solche Aufgaben sind immer mit viel Rechnerei verbunden,was ich gar nicht schätze.

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Vielen Dank für die ausführliche Antwort!

Answer 3

Aloha :)

Wir berechnen zunächst den Schnittpunkt \(S\) von Gerade \(g\) und Ebene \(E_2\).

$$4\stackrel{!}{=}\left(\begin{array}{c}-2\\9\\3\end{array}\right)\vec x=\left(\begin{array}{c}-2\\9\\3\end{array}\right)\cdot\left[\left(\begin{array}{c}2\\1\\2\end{array}\right)+\eta\left(\begin{array}{c}3\\-1\\-1\end{array}\right)\right]=11-18\eta\;\;\Rightarrow\;\;\eta=\frac{7}{18}$$Der Schnittpunkt ist daher:$$S\left(\frac{57}{18},\frac{11}{18},\frac{29}{18}\right)$$

Der Normalenvektor von \(E_2\) ist \((-2|9|3)\). Der Richtungsvektor der Geraden ist \((3|-1|-1)\). Der Winkel zwischen diesen beiden ist der Co-Winkel \((90^o-\alpha)\) des gesuchten Schnittwinkels \(\alpha\) zwischen Gerade und Ebene:$$90^o-\alpha=\arccos\frac{\left(\begin{array}{c}-2\\9\\3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\-1\\-1\end{array}\right)}{\sqrt{(-2)^2+9^2+3^2}\sqrt{3^2+(-1)^2+(-1)^2}}$$$$\phantom{90^o-\alpha}=\arccos\frac{-18}{\sqrt{94}\cdot\sqrt{11}}=\arccos(-0,559773)=124,04^o$$Es ist Konvention, Schnittwinkeln immer positiv anzugeben, daher: \(\alpha=34,04^o\)

Der Schnittwinkel \(\beta\) der beiden Ebnen ist der Schnittwinkel zwischen den Normalenvektoren:$$\beta=\arccos\frac{\left(\begin{array}{c}-2\\9\\3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}4\\-2\\3\end{array}\right)}{\sqrt{(-2)^2+9^2+3^2}\sqrt{4^2+(-2)^2+3^2}}$$$$\phantom{\beta}=\arccos\frac{-17}{\sqrt{94}\cdot\sqrt{23}}=109^o\mapsto71^o$$

Fehl noch die Schnittgerade \(h\) zwischen \(E_1\) und \(E_3\):$$E_1:\;3x-y+5z=30$$$$E_3:\;4x-2y+3z=2$$Setze \(z=t\) und bestimme \(x,y\) in Abhängigkeit von \(t\):

$$\left.\begin{array}{l}3x-y=30-5t\\4x-2y=2-3t\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad x=29-\frac{7}{2}\,t\;\;;\;\;y=57-\frac{11}{2}\,t$$Die Schnittgerade \(h\) lautet daher:

$$h:\;\vec x=\left(\begin{array}{c}29-\frac{7}{2}\,t\\57-\frac{11}{2}\,t\\t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}29\\57\\0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}\frac{7}{2}\\-\frac{11}{2}\\1\end{array}\right)$$Mit \(s=t/2\) erhalten wir schließlich:$$h:\;\vec x=\left(\begin{array}{c}29\\57\\0\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}7\\-11\\2\end{array}\right)$$

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Super! Besten Dank!