umkehrfunktion von x+(-1)^x bestimmen

Question

kann jemand mir bei der Umkehrsfunktion dieser Frage helfen? $$f(x) = x + (-1)^{x}, f^{-1}(x)=???$$

Comments

Algebraisch ist das nicht nach x auflösbar. Ist das die genaue Aufgabenstellung?

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Wenn wir nicht nach ℂ wollen, ist f^-1 =f .

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(-1)^x ist in R für nicht ganzzahlige x nicht definiert.

Answer 1

Aloha :)

Wenn die Funktion von den ganzen Zahlen in die ganzen Zahlen abbildet,$$f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z},\,x\mapsto x+(-1)^x$$ist sie bijektiv und ihre eigene Umkehrfunktion:$$f^{-1}:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z},\,x\mapsto x+(-1)^x$$Das sieht man sehr schön an einer kleinen Wertetabelle:

x	f(x)
-2	-1
-1	-2
0	1
1	0
2	3
3	2
4	5
5	4
6	7
7	6

\(x\) und \(f(x)\) verlaufen paarweise "über Kreuz".

Comments

Und wie würde dann die Umkehrfunktion aussehen? Trotz Bijektivität scheint es als wäre die Umkehrfunktion unmöglich zu sein.

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Die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) habe ich doch schon angegeben, es ist die Funktion selbst, also \(f^{-1}=f\).

Beispiel:$$x=1\quad\Rightarrow\quad f(x)=0$$$$x=0\quad\Rightarrow\quad f(x)=1$$

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ach ja, richtig. Ich habe eigentlich noch eine Schwierigkeit bei dieser Aufgabe und ich hatte eigentlich vom Anfang zusammen mit der Aufgabe die Frage stellen sollen.

also mit $$g : \mathbb{N_0} → \mathbb{N_0}, g(x) := max {(0, x - 5)}$$ und definiert durch $$max{(m, n)} := (m, falls  ( m ≥ n ) und    n, sonst)$$

ist g o f =f o g?

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Ich wähle mal \(x=0\) als Beispiel, um die Behauptung \(f\circ g=g\circ f\) zu prüfen:$$(f\circ g)(0)=f(g(0))=f(\text{max}(0,0-5))=f(0)=0+(-1)^0=1$$$$(g\circ f)(0)=g(f(0))=g(0+(-1)^0)=g(1)=\text{max}(0,1-5)=0$$Die Behauptung gilt also nicht, sie scheitert schon beim kleinst möglichen Wert \(0\in\mathbb{N_0}\).