0 Daumen
777 Aufrufe

Ich soll 1/z berechnen

z=-1+i ich sollte als erstes die Polarform von z bestimmen und habe dafür √2 * (cos(135°)+isin(135°)

im Bogenmaß: √2 * (cos(3/4π)+isin(3/4π)

das habe ich raus uns soll nun

a) 1/z mit Hilfe der Polarform berechnen und

b)z22

Bei 1 habe ich versucht  √2 * (cos(3/4π)+isin(3/4π) komplex konjugiert zu erweitern aber komme da nicht weiter. Ich soll im Bogenmaß rechnen.

und bei b) hab ich leider keine Ahnung

das Oberthema lautet Wurzel und Potenzen von komplexen Zahlen

Kann mir jemand bitte weiterhelfen?

Mit freundlichen Grüßen

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Hallo Markus,

mit 'Polarform' ist sicher die Form in Exponentialdarstellung gemeint - also $$\begin{aligned} z &= -1 + i \\ &= \sqrt 2 \left(\cos\left( \frac 34 \pi\right) + i \cdot \sin\left( \frac34 \right)\right) \\ &= \sqrt 2 \cdot e^{i\frac 34 \pi} \end{aligned}$$dann wird \(1/z\) zu$$\begin{aligned} \frac 1z &= \frac{1}{-1 + i} \\ &= \frac 1{\sqrt 2 \cdot e^{i\frac 34 \pi}} \\ &= \frac 1{\sqrt 2} e^{-i\frac 34 \pi} \\ &= \frac 12 \sqrt 2 \cdot e^{-i\frac 34 \pi} \end{aligned}$$Jetzt sollte \(z^{22}\) auch kein Problem mehr sein - oder? Tipp: \(2^{11} = 2048\)

Avatar von 48 k

Danke für Ihre Antwort.

Was haben sie im 3 und 4 schritt gemacht? komplex konjugiert erweitert?

Mit freundlichen Grüßen

Markus

Was haben sie im 3 und 4 schritt gemacht? komplex konjugiert erweitert?

Nein - eben genau nicht.

Du weißt sicher, dass $$\frac 1{a^b} = a^{-b}$$ist, somit ist $$\frac 1{e^{i \frac 34\pi}} = e^{-i \frac 34 \pi}$$und $$\frac 1{\sqrt 2}$$ habe ich schlicht mit \(\sqrt 2\) erweitert.

schau Dir mal das Applet in dieser Antwort an. Bringe dort den Punkt \(Z\) in die Position \(z=-1+i\). Dann siehst Du, was aus \(1/z\) wird.

Die Polarform nennt sich manchmal auch goniometrische Form und ist sicher nicht die Exponentialdarstellung.

Die Polarform nennt sich manchmal auch goniometrische Form und ist sicher nicht die Exponentialdarstellung.

.. ist auch wurscht! Auf jeden Fall lassen sich mit der Form \(e^{i \dots}\) die Aufgaben von Markus gut lösen.

Vielen war hilfreich

aber wie man z22 

berechnet weiß ich leider immer noch nicht

Mit freundlichen Grüßen

Markus

aber wie man z22 berechnet weiß ich leider immer noch nicht

Mit den Potenzgesetzen. Es gilt $$\left( a^b\right)^{22} = a^{22b}$$bzw. $$\left( \sqrt 2 \cdot e^{i \frac 34 \pi} \right)^{22} = 2^{\frac 12 \cdot 22} \cdot e^{i \frac{33}2 \pi } = 2^{11} \cdot e^{i \frac 12 \pi}$$Bem.: \(e^{2i\pi} = 1\)

Wie kommt man auf 33/2 und 21/2*22 ?

ahh ich √2 ist ja 21/2 deswegen

beides hat sich geklärt!

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community