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|x-1|≤1/2X+2 habe ich gegeben und soll alle Lösungen der Ungleichung herausfinden 

Und eine Fallunterscheidung durchführen.

Mit freundlichen Grüßen

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Was hat diese Ungleichung mit komplexen Zahlen zu tun? Und heißt der rechte Term wirklich

\( \frac{1}{2} \) X+2 ?

ja 1/2x+2...

Das mit Komplexen Zahlen war ein Fehler..

4 Antworten

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Beste Antwort

|x - 1| ≤ 1/2·x + 2

1. Fall: x - 1 ≥ 0 bzw. x ≥ 1
x - 1 ≤ 1/2·x + 2
1/2·x ≤ 3
x ≤ 6 → 1 ≤ x ≤ 6

2. Fall: x - 1 ≤ 0 bzw. x ≤ 1
-(x - 1) ≤ 1/2·x + 2
- x + 1 ≤ 1/2·x + 2
- 1 ≤ 3/2·x
- 2/3 ≤ x --> - 2/3 ≤ x ≤ 1

Lösungszusammenfassung
- 2/3 ≤ x ≤ 6

Avatar von 487 k 🚀

Vielen Dank für die Antwort!!

Könnten Sie noch mal zeigen wie Sie in Fall 1 die Gleichung nach x gelöst haben?

Hat sich geklärt

Freut mich wenn du es verstanden hast. Wenn du trotzdem noch Hilfe benötigst oder Verständnisschwierigkeiten hast melde dich gerne.

Mach ich vielen Dank!

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1, Fall: x>=1

x-1 <=1/2x+2

1/2x <=3

x<=6 → L=[1;6]


2. Fall: x<1

-x+1<=1/2x+2

3/2x >=-1

x>= -2/3  → L= [-2/3;1[

L = [-2/3; 6]

Avatar von 81 k 🚀

Vielen Dank für die Antwort!!

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|x+1|≤1/2x+2 ⇔ 2|x-1|≤x+4 ⇔ 2√(x-1)≤x+4

⇒ 4(x-1)≤(x+4)^2

⇔ 0≤x^2+4x+20 ⇔ 0≤(x+2)^2-16 ⇔ 16≤(x+2)^2

dies gilt für x in [-2/3, 6]

Avatar von 28 k

Vielen Dank für die Antwort!!

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|x-1| ≤ 1/2 * x + 2
Fallunterscheidung bei
x - 1 ≥ 0
1.)
x ≥ 1
Dafür gilt
x-1 ≤ 1/2 * x + 2
1/2 * x ≤ 3
x ≤ 6
Beide Bedingungen
( x ≥ 1 ) und ( x ≤ 6 )
1 ≤ x ≤ 6

2.)
x < 1
Dafür gilt
|x-1| = ( x -1) *(-1)

( x -1) *(-1)  ≤ 1/2 * x + 2
-x + 1 ≤ 1/2 * x + 2
- 3/2 * x ≤ 1 | * -1
3/2 * x > -1
x > -2/3

Beide Bedingungen
(  x < 1 ) und ( x > -2/3 )
-2/3 < x < 1

Fall 1.) und 2.) Lösungsmenge
-2/3 < x < 6

Avatar von 123 k 🚀

Oder einfacher
Die linke Seite ist stets 0 oder positiv
|x-1| ≤ 1/2 * x + 2
Damit die Ungleichung stimmt muß es die rechte Seite auch sein.

|x-1| ≤ 1/2 * x + 2  | quadrieren
( x -1 ) ^2 ≤ ( 1/2 * x + 2 )
x^2 - 2x + 1 ≤ 1/4 x^2 + 2x + 4
3/4 * x^2 - 4x ≤ 3 | * 4/3
x^2 - 16/3 x ≤ 4
x^2 - 16/3 x  + ( 8/3)^2 ≤ 4 + (8/3)^2

( x - 8/3 ) ^2 ≤ 36/9 + 64/9
-10/3 ≤ x - 8/3 ≤ 10/3
-2/3 ≤ x ≤ 6

Naja, kürzer ist es auch nicht unbedingt

Vielen Dank für die Antwort!!

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