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Hoi

Ich habe die Funktion f(x,y)=x. Geplottet ist das ja eine Ebene.

Jetzt muss ich zeigen, dass das ebene Feld F: R² -> R² mit F(x,y)= (-2x   cos(y)) das Gradientenfeld einer skalaren Funktion f:R² -> R ist.

Kann man solche Aufgaben nicht sonst nur im R³ lösen? Ich bin mir nicht sicher, wie ich hier vorgehen soll.

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Aloha :)

Um zu zeigen, dass ein Feld ein Gradientenfeld einer skalaren Funktion ist, musst du nur zeigen, dass die gemischten partiellen Ableitungen paarweise gleich sind:$$\frac{\partial F_1}{\partial x_2}\stackrel{?}{=}\frac{\partial F_2}{\partial x_1}\quad\text{bzw.}\quad\frac{\partial F_x}{\partial y}\stackrel{?}{=}\frac{\partial F_y}{\partial x}$$Hier ist:$$\frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(-2x)=0\quad;\quad\frac{\partial F_y}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(\cos y)=0$$Beide sind gleich, also existiert ein passendes Skalarfeld.

Im 3-dimensionalen Raum kann man das schön prüfen, indem man die Rotation bildet. Wenn die Rotation eines Vektorfeldes verschwindet, ist es ein Gradientenfeld.

Avatar von 152 k 🚀

Alles klar, danke dir. Wie immer sehr hilfreich ^^

LG Jelly

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