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Ich muss die folgenden Folgen auf Beschränktheit, Konvergenz und Häufungspunkte/Divergenzen überprüfen.

Ich sitze schon seit einigen Tagen an dieser Aufgabe und komme echt nicht weiter. Aus Youtube werde ich leider auch nicht schlau, da ich dort keine komplizierteren Folgen finde.


a_n := \(\frac{4n^3+(-1)^n n^2}{5n+2n^3}\)


b_n :=  \(\frac{(1+(-1)^n)n^2}{n}\)


Was ich bisher gemacht habe, ist n aus der Folge a zu kürzen, um dann den Grenzwert zu berechnen. Hier bin ich mir auch nicht ganz sicher. Dabei habe ich das raus:

a_n = \(\frac{4n^3+(-1)^n n^2}{5n+2n^3}\)

       = \(\frac{4n^3+(-1)^n n^2}{2n(n^2+2,5)}\)

       = \(\frac{4n^2+(-1)^n n}{2n^2+5}\)

       = \(\frac{4+(-1)^n (\frac{1}{n})}{2+(\frac{5}{n^2})}\)

       = \( \frac{4+(-1)^n×0}{2+5×0×0} \)

       = \( \frac{4}{2} \) = 2


Ich bin mir nicht sicher, ob mein Ansatz richtig ist und ich weiß auch leider nicht, wie ich jetzt weiterkomme. Es würde mir reichen, wenn mir jemand bei der ersten Folge hilft. An die zweite werde ich mich dann selbst versuchen.

Ich würde mich echt freuen, wenn mir es jemand verständlich erklären könnte.

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Das hättest du auch gleich bekommen, wenn du sofort Zähler und Nenner durch n³ geteilt hättest.

Der Grenzwert ist 2, und wenn eine Folge einen Grenzwert hat ist sie notwendigerweise beschränkt.

Bei b) kannst du zunächst mal n kürzen, und 1+(-1)n ist abwechselnd 0 und 2. Das gibt Divergenz, aber einen Häufungspunkt (Teilfolgen für gerade bzw. ungerade n betrachten).

Avatar von 55 k 🚀

Also beweise ich mit dieser Rechnung, dass die Folge a gegen 2 konvergiert und beschränkt ist und muss hier nichts weiter tun?


Okay, danke dann werde ich bei b) auch so vorgehen.

Nein, du kannst bei b) nicht so vorgehen. Da b) nicht konvergiert, folgt nicht automatisch die Beschränktheit. Diese ist auch hier nicht gegeben, weil die Folge nach oben (und damit insgesamt) unbeschränkt ist.

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