Wir wissen, dass für alle x, y ∈ R das Potenzgesetz ex+y = ex · ey gilt.Wieso folgt daraus auch für alle a,b > 0 das Logarithmengesetz ln(a · b) = ln(a) +ln(b)?Tipp: Verwenden Sie, dass die Exponentialfunktion und der natürliche Logarithmus sich gegen- seitig umkehren!
Wie muss ich hier vorgehen?
Aloha :)
Wir können die Gültigkeit des Potenzgesetzes voraussetzen$$e^{x+y}=e^x\cdot e^y$$Für \(a,b>0\) setze \(x=\ln(a)\) und \(y=\ln(b)\), dann ist$$e^{\ln(a)+\ln(b)}=e^{\ln(a)}\cdot e^{\ln(b)}$$Weil \(e\)- und \(\ln\)-Funktion Umkehrfunktionen zueinander sind, gilt: \(e^{\ln(a)}=a\) und \(e^{\ln b}=b\):$$e^{\ln(a)+\ln(b)}=a\cdot b$$Wir wenden auf beiden Seiten die \(\ln\)-Funktion an und nutzen links wieder die Umkehreigenschaft aus:$$\ln\left(e^{(\ln(a)+\ln(b))}\right)=\ln(a\cdot b)$$$$\ln(a)+\ln(b)=\ln(a\cdot b)$$
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