Berechnen: Nichtlineare Gleichungssysteme: Bsp. 2(5 x-8 y)=x y , 4(x+y)=3 x y

Question

Aufgaben:

\( 3 x+8 y=x y \)
\( 3 x+16 y=5 x y \)

 

\( 2(5 x-8 y)=x y \)
\( 4(x+y)=3 x y \)

Comments

Linear sind die GS nicht.

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Habe das in der Überschrift berichtigt.

Answer 1

Das Einsetzungsverfahren liefert eigentlich gute Dienste:

3·x + 8·y = x·y --> y = 3·x/(x - 8)

3·x + 16·y = 5·x·y
3·x + 16·(3·x/(x - 8)) = 5·x·(3·x/(x - 8)) --> x = 2 ∨ x = 0

Für x = 2
y = 3·2/(2 - 8) = -1

Für x = 0
y = 3·0/(0 - 8) = 0

Answer 2

Wenn x und y beide gleich Null sind, sind beide Gleichungssysteme erfüllt.

1.

Suchen wir weitere Lösungen:

3x+8y=xy

3x+16y=5xy

Hier fällt mir auf, dass beide Male 3x vorkommt. Deshalb subtrahiere ich die erste von der zweiten Gleichung:

8y=4xy → 0=4xy-8y → 0=4y(x-2) → y=0 oder x=2

y=0 → x=0

x=2 → 6+8y=2y → 6=-6y → y=-1

L={(0;0);(2;-1)

2.

2(5x-8y)=xy → 6(5x-8y)=3xy → 30x-48y=3xy

4(x+y)=3xy → 4x+4y =3xy

30x-48y=4x+4y → 26x=52y → x=2y

4(2y+y)=3*2y*y

12y=6y^2 → 0=6y^2-12y → 0=6y(y-2) → y=0 oder y=2

y=0; x=0

y=2; x=4

L={(0;0);(4;2)}