Faktoreinsatzverhältnis, kostenminimum, Lagrange Multiplikator

Question

Ein Unternehmen weist folgende Produktionsfunktion \( F(K, L) \) in Abhängigkeit von Kapital ( \( K \) ) und Arbeit (L) auf \( F(K, L)=K L^{2} \)

Der Preis für eine Einheit Kapital beträgt \( p_{K}=36 \) und der Preis für eine Einheit Arbeit beträgt \( p_{L}=39 . \) Minimieren Sie die Kosten des Unternehmens unter Berücksichtigung seiner Produktionsfunktion, wenn ein Output von
410 ME produziert werden soll.

a. Wie hoch ist das kostenminimale Faktoreinsatzverhältnis \( \frac{K}{L} \) der beiden Produktionsfaktoren?

b. Wie hoch ist die Menge des Inputfaktors Arbeit in dem Kostenminimum?

c. Wie hoch ist die Menge des Inputfaktors Kapital in dem Kostenminimum?

d. Wie hoch ist der Lagrange-Multiplikator \( \lambda \) im Kostenminimum?

e. Wie hoch sind in diesem Fall die minimalen Kosten?

Answer 1

Lagrange-Ansatz gibt die 3 Gleichungen

36+L^2*λ = 0  und 39 + 2LKλ = 0 und KL^2=410

                                                     ==>  K = 410/L^2

 λ =  -36/L^2       und    39 + 820λ / L = 0

                              ==> 39  - 29520/L^3 = 0

                                ==>   L = 9,11

λ = -0,433                                             K=4,94

Also    a)  K/L = 0,54

           b) 9,11
           c) 4,94
           d)  -0,433

          e ) 533,00