Wie kriege ich die Punkte um die Parabel zu zeichnen, ohne wertetabelle?

Question

Aufgabe:

Für jede Zahl t ist eine Funktion f&(x) = tx^2 − 2tx gegeben.

a) Zeichne ein Schaubild für t = 1; 2; -1; -2.

Problem/Ansatz:

Um die Parabeln zu zeichnen muss ich ein paar bestimmte Punkte kennen, gibt es eine andere Möglichkeit als eine Wertetabelle sich zu errechnen?

Zb sehe ich, dass die Nullstellen bei t =1 zb 0 und -2 sind, aber die Parabel ist auch nach unten verschoben, könnte mir evtl auch jemand erklären warum dass der Fall ist? Bitte ausführlich, wenn das geht.

Answer 1

Aloha :)

Du könntest die Gleichung für die Parabel in Scheitelpunktform schreiben:

$$f_t(x)=tx^2-2tx=tx^2-2tx+\underbrace{t-t}_{=0}=t(x^2-2x+1)-t=\boxed{t(x-1)^2-t}$$Daraus kannst du den Scheitelpunkt \(S(1|-t)\) ablesen. Der Faktor \(t\) ist ein Maß für die "Aufweitung der Parabel". Je größer der Betrag von \(t\) ist, desto weiter ist die Parabel geöffnet. Das Vorzeichen von \(t\) gibt an, ob die Parabel nach oben \(t>0\) oder nach unten \(t<0\) geöffnet ist. So kannst du die Parabeln für \(t=1\) und \(t=-1\) sofort zeichnen. Bei denen für \(t=2\) und \(t=-2\) musst du noch die Aufweitung berücksichtigen, dafür sind vielleicht ein paar Punkte in einer Wertetabelle hilfreich.

~plot~ (x-1)^2-1 ; -(x-1)^2+1 ; 2(x-1)^2-2 ; -2(x-1)^2+2 ; [[-2|4|-5|5]] ~plot~

Answer 2

Hallo,

f(x) = tx² -2tx     t= 1

f(x) =x² -2x             Nullstellen  0= x²-2x  

                                                0= x(x-2)      Nullstellen dann bei  (0|0)  und (2|0)

durch quadratische Erweiteung erhält man die Scheitelpunktform, Scheitelpunkt ablesen

f (x) = (x-1)² -1                         S ( 1| -1)

bei t = -1  wird es nur gespiegelt , Nullstellen bleiben gleich , Scheitelpunkt  bei (1| 1)

bei t= 2 liegt eine gesteckte Parabel vor

f(x) = 2x² -4x          Nullstellen    0= 2x (x-2)       Nullstellen dann bei  (0|0)  und (2|0)

Scheitelpunktform  f(x) = 2(x-1)² -2        S(1| -2)

bei t=-2    wird nur gespiegelt , Nullstelllen bleiben gleich , Scheitelpunkt S( 1 | 2)

damit müsste man alle Parabeln gut zeichnen können

Answer 3

Scheitelpunktform ist hier nicht nötig.

f(x)=t*x*(x-2) hat unabhängig von t immer die Nullstellen 0 und 2 und die Extremstelle genau in der Mitte, also bei x=1.

Es gilt f(1)=-t.

Man hat somit die drei Punkkte (0|0), (2|0) und (von t abhängig) den Scheitelpunkt (1|-t).