Konvergenz Divergenz Grenzwert

Question

Text erkannt:

Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x):=\left\{\begin{array}{cl}-x^{2}, & \text { falls } 0 \leq x \leq 2 \\ x, & \text { sonst. }\end{array}\right. \)
Füllen Sie die Lücken ohne weitere Begründung:
Die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}:=\square \)
\( \mathbb{R} \) konvergiert gegen
erfüllt \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f\left(a_{n}\right)=f\left(\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}\right) \)
Die Folge \( \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}:=\square \)
in \( \mathbb{R} \) konvergiert gegen \( \square \) und erfüllt \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f\left(b_{n}\right) \neq f\left(\lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}\right) \)

Kann mir jemand bitte ganz genau sagen wie ich hier vorgehe? Nicht nur Lücken füllen sondern sagen wie man vorgeht bitte :)

Answer 1

Die erste Aussage wird erfüllt von jeder Folge, die gegen einen Grenzwert

konvergiert, bei dem f stetig ist.

Also z.B. die Folge mit a_n = 1/n .

Bei der 2. braucht man eine Folge, die gegen eine Zahl konvergiert, bei der f

nicht stetig ist, also hier etwa an der Stelle 2.

Da kannst du die Folge nehmen mit b_n = 2+1/n.

Da sind ja alle bn größer 2 und für die gilt ja die

zweite Zeile der Def. von f.