Integral (Cavalierisches Prinzip)

Question

(1) Skizzieren Sie die Menge
$$ D:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}:-1 \leq x \leq 2 \wedge x^{2} \leq y \leq x+2\right\} $$
(2) Berechnen Sie unter Verwendung des Cavalierischen Prinzips das Integral \( \int \limits_{D} x y d(x, y) \)

Answer 1

Hallo Miho,

die Skizze ist klar oder?

~plot~ x^2;x+2;[[-3|4|-1|4.5]] ~plot~

\(D\) ist die Fläche zwischen der blauen Parabel und der roten Geraden.

bei (2) bin ich mir nicht sicher. Für wahrscheinlich halte ich folgende Lösung - bzw. Lösungsweg: $$\begin{aligned} &\phantom{=} \int_D xy \, \text d(x,y) \\ &= \int_{x=-1}^2 \int_{y=0}^{x+2}xy \,\text dy \text dx - \int_{x=-1}^2 \int_{y=0}^{x^2}xy \,\text dy \text dx \\ &=  \int_{x=-1}^2 \left. \frac 12 xy^2\right|_{y=0}^{x+2} \,\text dx - \int_{x=-1}^2 \left. \frac 12 xy^2\right|_{y=0}^{x^2}  \text dx \\ &= \int_{x=-1}^2 \frac 12 x(x+2)^2 \,\text dx - \int_{x=-1}^2 \frac 12 x^5\,\text dx \\ &= \left. \frac 18 x^4 + \frac 23 x^3 + x^2\right|_{x=-1}^2 - \left. \frac 1{12}x^6\right|_{x=-1}^2 \\ &= \frac {87}8 - \frac {21}{4} \\ &= \frac {45}8 \end{aligned}$$

Answer 2

(1) Skizzieren Sie die Menge \(D:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}:-1 \leq x \leq 2 \wedge x^{2} \leq y \leq x+2\right\}\)

Gib folgende Ungleichungen in GeoGebra ein:

• -1 <= x
• x <= 2
• x^2 <= y
• y <= x+2

Comments

@oswald: IMHO ist das Integral nicht die Lösung von (2). U.a. deshalb weil sein Wert \(\lt 0\) ist.