Hallo Clemens,
Du hast zwar drei Intervalle, aber weil die Gleichung so ist, wie sie ist reicht es aus zwei(!) Fälle zu unterscheiden. Für den ersten Fall ist $$x < -3 \lor 1 \lt x$$dann ist nämlich der Term$$(x-1)(x+3) \gt 0$$und damit kannst Du die Gleichung multiplizieren, ohne dass das \(\ge\)-Zeichen geändert wird.
1.Fall \(x < -3 \lor 1 \lt x\):$$\begin{aligned} 4+ \frac 9{x-1} &\ge \frac 1{x+3} && \left| \, \cdot (x-1)(x+3) \gt 0\right. \\ 4(x-1)(x+3) + 9(x+3) &\ge x-1 \\ 4x^2+8x - 12 + 9x + 27 &\ge x -1 && \left|\, + x-1 \right.\\ 4x^2 + 16x + 16 &\ge 0 \\ x^2 + 4x + 4 &\ge 0 \\ (x+2)^2 &\ge 0\end{aligned}$$und hier sieht man schon, dass die linke Seite in jedem Fall \(\ge 0\) ist, und die Gleichung somit in diesem Fall immer erfüllt ist.
2.Fall \(-3 \lt x \lt 1\):$$\begin{aligned} 4+ \frac 9{x-1} &\ge \frac 1{x+3} && \left| \, \cdot (x-1)(x+3) \lt 0\right. \\ 4(x-1)(x+3) + 9(x+3) &\le x-1 \\ 4x^2+8x - 12 + 9x + 27 &\le x -1 && \left|\, + x-1 \right.\\ 4x^2 + 16x + 16 &\le 0 \\ x^2 + 4x + 4 &\le 0 \\ (x+2)^2 &\le 0 \end{aligned}$$die Rechnung ist hier natürlich die gleiche. Aber erfüllt ist die Gleichung nur für \(x=-2\);
