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Aufgabe:

Ableitung der Umkehrfunktion


Problem/Ansatz:

Seien \( D, W \subseteq \mathbb{R} \) und \( D \) ein Intervall. Weiter sei \( f: D \rightarrow W \) eine surjektive, streng monotone Funktion, die in \( \tilde{x} \in D \) differenzierbar ist mit \( f^{\prime}(\tilde{x}) \neq 0 . \) Dann hat \( f \) eine Umkehriunktion \( f^{-1}: W \rightarrow D \), die in \( \tilde{y}:=f(\tilde{x}) \) differenzierbar ist, und es gilt:
$$ \left(f^{-1}\right)^{\prime}(\tilde{y})=\frac{1}{f^{\prime}\left(f^{-1}(\tilde{y})\right)} $$

Herleitung

\( \begin{aligned} & \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{f^{-1}\left(y_{n}\right)-f^{-1}(\tilde{y})}{y_{n}-\tilde{y}} \\ & \downarrow f\left(f^{-1}\left(y_{n}\right)\right)=y_{n} \text { und } f\left(f^{-1}(\tilde{y})\right)=\tilde{y} \\=& \lim \limits_{n \rightarrow \tilde{\infty}} \frac{f^{-1}\left(y_{n}\right)-f^{-1}(\tilde{y})}{f\left(f^{-1}\left(y_{n}\right)\right)-f\left(f^{-1}(\tilde{y})\right)} \\=& \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\frac{f\left(f^{-1}\left(y_{n}\right)\right)-f\left(f^{-1}(\tilde{y})\right)}{f^{-1}\left(y_{n}\right)-f^{-1}(\tilde{y})}} \\ & \downarrow f^{-1}\left(y_{n}\right)=x_{n} \operatorname{und} f^{-1}(\tilde{y})=\tilde{x} \\=& \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\frac{f\left(x_{n}\right)-f(\tilde{x})}{x_{n}-\tilde{x}}} \\=& \frac{1}{\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{f\left(x_{n}\right)-f(\tilde{x})}{x_{n}-\tilde{x}}} \end{aligned} \)

\( \downarrow f \) differenzierbar in \( \tilde{x} \)
\( =\frac{1}{f^{\prime}(\tilde{x})} \)
\( =\frac{1}{f^{\prime}\left(f^{-1}(\tilde{y})\right)} \)


Fragen über Fragen.. Diesmal habe ich eine Herleitung der Ableitungsregel für Umkehrfunktionen und den dazugehörigen Satz. Folgende Bedingungen gehen diesem Beweis voraus:

1. Die Umkehrfunktion muss überhaupt existieren

2. f'(x) darf nicht = 0 sein

3. Die Umkehrfunktion f^-1 muss in tilde{y} stetig sein.


Nun zu meiner Frage:

Normalerweise erkennt man ja an der Beweisführung recht gut, weshalb die Bedingungen eines Beweises gelten müssen. Das der zweite Punkt gelten muss, sieht man ja zum Beispiel, da im Nenner des Bruchs in der drittletzten Zeile des Beweises ansonsten ja 0 stehen würde. Ich erkenne aber einfach nicht im Beweis, wo die 3. Bedingung eingebracht ist und weshalb der Beweis nicht gültig wäre, wenn Bedingung 3 nicht gelten würde. Meine Vermutung ist, dass ja gilt, dass jede differenzierbare Funktion stetig ist und das dementsprechend der Differentialquotient nur dann eindeutig gebildet werden kann, wenn eben Bedingung 3. vorausgesetzt ist. Ich bin mir allerdings gerade sehr unsicher, ob Bedingung 3 nicht noch an anderer Stelle des Beweises eine Rolle spielt und ob ich den Wald vor lauter Bäumen einfach nicht mehr sehe.

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Hallo,

schau Dir doch mal andere Quellen an, zum Beispiel im WEB. Mit wäre nicht bekannt, dass Deine 3. Bedingung notwendig ist.

Gruß

hey mathepeter! Ich glaube ich habe jetzt tatsächlich die Lösung. Also nach meinen weiteren Recherchen ist Bedingung 3 tatsächlich notwendig. Der Differentialquotient ganz am Anfang der Herleitung ist ja = f-1'(y tilde). Und wenn man die Gleichung umstellt, erhält man, dass lim n → ∞

f-1(yn)= f-1(lim n → ∞ yn) = f-1(y tilde). Und das ist ja nichts anderes, als das Bedingung 3 gilt. Echt, vielen Dank für dein Kommentieren!

Hallo,

schau Dir doch mal andere Quellen an, zum Beispiel im WEB. Mit wäre nicht bekannt, dass Deine 3. Bedingung notwendig ist.

Hallo,

ich sehe gerade, dass ich mich ungenau ausgedrückt habe: Wenn die Umkehrfunktion an einer Stelle differenzierbar ist, dann ist sie dort natürlich auch notwendig stetig. Aber diese Stetigkeit wird im Beweis nicht benötigt und taucht deshalb - normalerweise - in den Voraussetzungen auch nicht auf.

Gruß

ah, verstehe. Na dann scheint die Frage ja jetzt vollständig geklärt zu sein, danke nochmal :)

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