Der Positivteil von ψ(x) bzw φ(x) ist ja gleich der Funktion oder aber
gleich 0, wenn die Funktionswerte negativ sind.
Wenn du nun ψ(x) −φ(x) betrachtest , dann gibt es für jedes x
quasi 4 Fälle
1. ψ(x)>0 und φ(x)>0 dann ist ψ(x) −φ(x) gleich der Differenz der
Positivteile.
2. ψ(x)>0 und φ(x)<0 dann wird bei ψ(x) −φ(x) ja etwas negatives
subtrahiert also etwas positives addiert und das Ergebnis E ist also > ψ(x).
Und bei der Differenz der Positivteil wird 0 subtrahiert, also ist das
Ergebnis gleich ψ(x) − 0 und damit kleiner als E.
3. ψ(x)<0 und φ(x)<0 dann erhält man bei der Differenz der Positivteile jedenfalls 0. Bei ψ(x) −φ(x) muss man jetzt beachten, dass ja
ψ(x) ≥ φ(x) angenommen war, also ist die Differenz ψ(x) −φ(x) ≥ 0.
4. ψ(x)<0 und φ(x)>0 fällt aus wegen ψ(x) ≥ φ(x)
Also ist in allen Fällen ( musst vielleicht noch ein paar mit ... = 0 ergänzen)
die Differenz der Positivteile nie größer als die Differenz der
ursprünglichen Funktionswerte und damit gilt wegen der
Monotonie des Integrals die Ungleichung.