Das Supremum einer Menge ist die kleinste obere Schranke der Menge und das Infimum einer Menge ist die größte untere Schranke.
Die Menge ist hier die Menge der möglichen Ergebnisse von f ( x ) = sin x + cos x, also der Bildbereich von f. Dieser Bereich ist beschränkt durch das Maximum und das Minimum von f.
Um diese Extremstellen zu bestimmen, setzt man die Ableitung von f gleich Null und löst nach x auf:
f ' ( x ) = cos x - sin x = 0
<=> cos x = sin ( x )
<=> 1 = sin ( x ) / cos ( x ) = tan ( x )
<=> x = arctan ( 1 )
Im Intervall [ 0 , 2 π ] ergibt sich daraus:
x1 = π / 4 , x2 = 5 π / 4
f ' ' ( π / 4 ) = - sin ( π / 4 ) - cos ( π / 4 ) < 0
=> bei x = π / 4 liegt ein Maximum von f ( x ) vor. Dort gilt:
f ( π / 4 ) = sin ( π / 4 ) + cos ( π / 4 ) = √ 2
f ' ' ( 5 π / 4 ) = - sin ( 5 π / 4 ) - cos ( 5 π / 4 ) > 0
=> bei x = 5 π / 4 liegt ein Minimum von f ( x ) vor. Dort gilt:
f ( 5 π / 4 ) = sin ( 5 π / 4 ) + cos ( 5 π / 4 ) = - √ 2
Also: Die Bildmenge von f ( x ) = sin x + cos x ist [ - √ 2 , √ 2 ].
Beide Grenzen gehören zur Bildmenge, also ist das Infimum gleich dem Minimum und das Supremum gleich dem Maximum der Bildmenge. Somit gilt:
Infimum ( sin x + cos x ) = - √ 2
Supremum ( sin x + cos x ) = √ 2