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Aufgabe:

Prüfe, ob das uneigentliche Integral existiert


Problem/Ansatz:

Hallo Leute. Ich habe hier eine Aufgabe zu uneigentlichen Integralen, die mir erst einmal leicht vorkam, mir dann aber doch Kopfzerbrechen bereitet hat. Und zwar geht es um das Integral  ∫1 xs wobei s ∈ ℝ \ {-1}. Die Lösung lautet folgendermaßen:

Sofern das Integral existiert, konvergiert lim r → ∞  ∫r1 xs ⇔  lim r → ∞ (1/(s+1))·rs+1 - (1/(s+1)) ⇔ lim r → ∞ (rs+1/(s+1)) - (1/(s+1)). Damit der Grenzwert existiert, muss s+1<0 gelten. Sei s+1=z. Durch Einsetzen erhalten wir lim r → ∞ (rz/z) - (1/(s+1))⇔ lim r → ∞ ((1/rz)/z) - (1/(s+1))⇔ lim r → ∞ (1/rz)·(1/z) -(1/(s+1)) = 0 - (1/(s+1)) = - (1/(s+1)).


Was ich jetzt nicht verstehe, ist folgendes: Wieso sollte der fett markierte Term unter den gegebenen Bedingungen gegen 0 gehen? Ich habe damit zwei Probleme. Erstes Problem: Bei lim r → ∞ (1/rz) ist z ja >= 0 (Die ursprüngliche Bedingung war ja z<0. Nur betrachte ich jetzt ja nicht mehr rz sondern (1/rz)). Nur könnte ich z in diesem Fall doch von rechts gegen 0 gehen lassen und dann hätte ich r gegen unendlich und z von rechts gegen 0. Was kommt dann für rz heraus? Gibt es dafür überhaupt eine Lösung? Dann zum zweiten Problem: (1/z) betrachtet ich ja für z<0. Auch hier könnte ich doch aber wieder ein z anschauen, dass diesmal von links gegen 0 geht. In diesem Fall würde der Term doch gegen -∞ gehen. Wie aber soll dann der fett markierte Term gegen 0 gehen? Das verstehe ich einfach nicht. Ich persönlich würde meinen, dass die Anfangsbedingung z<0 nicht ausreicht, um zu dem Ergebnis von oben zu gelangen.

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1 Antwort

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Hallo

irgendwas ist eigenartig, man kann nicht r^z einfach durch 1/r^z ersetzen

davor war r negativ,  besser wäre gewesen wegen s+1<0 z=-(s+1) zu setzen dann hat man 1/r^z

da s=1 gleich zu Anfang ausgeschlossen wurde kann z nicht 0 werden. weder von rechts noch von links.

richtig ist, dass je näher an 0 z ist desto "langsamer" die Konvergenz

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

Hallo Lul, also ich glaube meine Frage ist auch nicht wirklich zu gebrauchen. Da ist wirklich einiges falsch gelaufen. Dann anders gefragt: Hast du eine Ahnung, wieso das uneigentliche Integral ∫xsdx unter der Bedingung s < -1 existiert, und zwar ∫1 xsdx = -(1/(s+1))? Das war ja im Grunde genommen meine Ausgangsfrage.


Liebe Grüße und danke für deine Hilfe!!

Du weißt doch hoffentlich, dass beim Integrieren dieses Terms der Exponent um 1 größer wird. Wenn der Exponent s kleiner als -1 ist, dann ist der um 1 vergrößerte Exponent kleiner 0, also negativ....

Die Stammfunktion ist also etwas von der Form "Faktor mal (x hoch negative Zahl)"

Das leuchtet ein. Nur komm ich dadurch trotzdem nicht auf die Antwort. Also die Stammfunktion von xs ist ja (1/(s+1))xs+1. Ich müsste doch jetzt schauen, ob lim r → ∞ (1/(s+1))rs+1- (1/(s+1)) konvergiert. Laut Lösung konvergiert es für s < -1 gegen (1/(s+1)). Nur weiß ich einfach nicht, wie man darauf kommt.

hallo für r>0 konvergiert 1/x^r gegen 0, es bleibt der andere Term.

Gruß lul

Hallo lul, also geht r → ∞ (1/(s+1))rs+1 für s < -1 gegen 0, da in diesem Fall rs+1im Exponenten eine negative Zahl mit s+1 stehen hat und wir damit lim r →∞ 1/r-(s+1)    rechnen können, was gegen 0 geht, da -(s+1) positiv ist? Also für wirklich jede noch so kleine positive Zahl im Exponenten geht dieser Bruch gegen 0?

wirklich für jedes s<-1

lul

Super, vielen Dank!!

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