Deine Aufzeichnung ist falsch: Die Gleichung sollte $$\dfrac{(-5)^n+2^n}{2^{n+1}}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{(-5)^n+2^n}{2^{\textcolor{green}{n}}}$$ heißen (Änderung ist grün markiert).
Man kommt darauf, weil \(\textcolor{red}{2^{n+1}=2^n\cdot 2^1}\) ist, siehe Potenzgesetz \(\boxed{a^b\cdot a^c=a^{b+c}}\) für beliebige, reelle Zahlen \(b,c\) und \(a>0\). Mit anderen Worten: Wir haben die \(2^1\) aus \(2^{n+1}\) herausgezogen und erhalten dadurch unter dem Bruchstrich \(2^n\). Der Zähler bleibt natürlich gleich, dort haben wir ja nichts herausgezogen. Daher kommt das \(\frac{1}{2}\) zustande: $$\dfrac{(-5)^n+2^n}{\textcolor{red}{2^{n+1}}}=\dfrac{1}{\textcolor{red}{2}}\cdot \dfrac{(-5)^n+2^n}{\textcolor{red}{2^{n}}}$$