Aloha :)
1. Fall: \(n\) ist gerade.
Wir können \(n\) in der Form \(n=2k\) schreiben, wobei \(k=\frac{n}{2}\in\mathbb N\) eindeutig festgelegt ist. Damit erhalten wir als Summe:$$S_n=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i=\sum\limits_{i=0}^{2k}(-1)^i=\sum\limits_{i=0}^{k}(-1)^{2i}+\sum\limits_{i=0}^{k-1}(-1)^{2i+1}$$$$\phantom{S_n}=\sum\limits_{i=0}^{k}(-1)^{2i}-\sum\limits_{i=0}^{k-1}(-1)^{2i}=\sum\limits_{i=0}^{k}1-\sum\limits_{i=0}^{k-1}1=(k+1)-k=1$$
2. Fall: \(n\) ist ungerade.
Wir können \(n\) in der Form \(n=2k+1\) schreiben, wobei \(k=\frac{n-1}{2}\in\mathbb N\) eindeutig festgelegt ist. Damit erhalten wir als Summe:$$S_n=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i=\sum\limits_{i=0}^{2k+1}(-1)^i=\sum\limits_{i=0}^{k}(-1)^{2i}+\sum\limits_{i=0}^{k}(-1)^{2i+1}$$$$\phantom{S_n}=\sum\limits_{i=0}^{k}(-1)^{2i}-\sum\limits_{i=0}^{k}(-1)^{2i}=\sum\limits_{i=0}^{k}1-\sum\limits_{i=0}^{k}1=(k+1)-(k+1)=0$$
Wir fassen beide Fälle zusammen:
$$\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k=\left\{\begin{array}{l}1 &\text{falls \(n\) gerade}\\0 & \text{falls \(n\) ungerade}\end{array}\right.$$