Versuch es mal so:
\(a_0=a \\ a_1=a\cdot q - b \\ a_2=a_1 \cdot q - b = (a\cdot q - b)\cdot q - b = a\cdot q^2- b\cdot (q+1) \\ a_3=a_2\cdot q -b = (a\cdot q^2- b\cdot (q+1))\cdot q - b = a\cdot q^3 - b\cdot (q^2+q+1) \\ a_4 = a_3 \cdot q - b = (a\cdot q^3 - b\cdot (q^2+q+1))\cdot q - b = a\cdot q^4-b\cdot (q^3+q^2+q+1)\)
Siehst du das Muster?
Dann kannst du über Induktion zeigen, dass
\(a_n=\begin{cases} a, \ n=0 \\ a\cdot q^n-b\cdot \sum\limits_{i=0}^{n-1} q^i, \ n\geq 1 \end{cases}\)
gilt (Induktionsanfang n=0 und n=1).