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Aufgabe:

Sei K:= ℚ(√-5):= {a+ib✓5, a,b∈ℚ} ⊂ℂ und O:= {a+i*b√5, a,b∈ℤ}⊂K

Zeige, dass:

a) K ist ein Unterkörper von ℂ

b) O ist ein Unterring von K aber kein Unterkörper.


Problem/Ansatz:

Nun einen Ansatz habe ich bereits:

Ich will zeigen, dass K ein Unterkörper ist

1) Nullelement von ℂ,∈K : (0,0), 0∈ℚ ✓

2) Einselement von ℂ,∈K: (1,0), 1∈ℚ und 0∈ℚ ✓

3) Additativ Inverses ∈ K: (a,b)∈ℚ also auch (-a,-b)∈ℚ ∀a,b∈ℚ ✓

4) Multiplikativ Inverses ∈ K: Definition: z=a+ib z^1= (a^2+b^2)^-1 * (a-ib)


Das Multiplikativ Inverse als Element von K zu beweisen bereitet mir bereits Mühe. Ist mein Ansatz überhaupt richtig? Also würde ich alle Punkte abhacken können, würde das heissen K ist ein Unterkörper von ℂ?

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1 Antwort

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Hallo

alles richtig, beim multiplakativen Inversen hast du die √5 weggelassen, aber mit (a-ib√5)/(a^2+5b^2) hast du doch ein Inverses und damit  ist K Körper.

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

Reicht es denn dieses nur so aufzuschreiben? Muss ich nicht noch zeigen, dass es auch wirklich Element von K ist?

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