Wie kann man die Konvergenz so formal bei dieser Aufgabe zeigen?

Question

Aufgabe: Zeigen Sie formal mit Definition der Konvergenz, dass aus der Konvergenz an → a
√(an) → a
und für an, a ungleich 0

1/√(an) → 1/a

folgt. Wählen Sie dazu zu gegebenem Epsilon > 0 ein passendes n0 und prüfen Sie die Definition nach.

a=Grenzwert

an ist ein Folge

Answer 1

Wegen √(an) → a ist

1. die Folge zu √(an)  beschränkt und ohne negative Werte

also s > 0 eine untere Schranke

2. a > 0, da nach Vor. a≠0  .

Sei nun ε>0 ,  Dann ist auch    δ = s*a*ε > 0 .

Wegen √(an) → a gibt es ein no mit

          | a- √(an) | <   δ   für alle n > no #

Und es gilt |  1/√(an)  - 1/a | =   | ( a- √(an) ) / (   a*(an)  ) |

Der Nenner ist nie negativ , also

                               =   | ( a- √(an) ) | / (  a*(an)  )

Und wegen # ist der Zähler <   δ  , also

                              <    δ  /  (  a*(an)  )       ##

                             = s*a*ε  /  (  a*(an)  )

                              = s*ε  /  (an)

                              = s/an * ε     ###

                              und da s eine unt. Schranke für an ist, gilt für

alle n jedenfalls s ≤ an ==>    s/an ≤ 1 und    ## setzt sich fort mit

                              ≤ ε .

Wegen des < in Zeile ## ist also insgesamt | 1/√(an)  - 1/a | <  ε

für alle n > no.