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Beweisen Sie, dass die nachstehende rekursiv definierte Folge (an)n∈N konvergiert, und bestimmen Sie ihren Grenzwert.

a1 = 4; an+1= 1 - (1 / 4an)

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Steht da $$ a_{n+1} = 1 - \frac{1}{4 a_n}  $$ oder $$ a_{n+1} = 1 - \frac{1}{4} a_n $$

steht da erste

Was bedeutet "steht da erste"?

einfach erste lol??

Wie weit bist du denn bisher gekommen? Du musst induktiv die Beschränktheit und Monotonie zeigen. Dann konvergiert die Folge und du kannst den Grenzwert über eine Fixpunktgleichung finden.

1 Antwort

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Hier ein Beispiel, das nach genau dem gleichen Schema bewiesen wird. Tipp: Die Folge ist in diesem Fall durch 1/2 und 4 beschränkt und ist streng monoton fallend!

blob.png

Text erkannt:

Beispiel 3
Man zeige, dass die durch
\( a_{1}=3, \quad a_{n+1}=\frac{3 a_{n}+7}{a_{n}+3}, \quad n \in \mathbb{N} \)
definierte Folge konvergiert und man berechne den Grenzwert
Lösung:
Wir beweisen zuerst, dass die Folge beschränkt ist: Für \( n=1 \) gilt \( \sqrt{7}<a_{n} \leq 3 \)
\( \begin{aligned} \sqrt{7} &<a_{n+1} & & \leq 3 \\ \sqrt{7} &<\frac{3 a_{n}+7}{a_{n}+3} & \leq 3 \\ 3 \sqrt{7}+\sqrt{7} a_{n} &<3 a_{n}+7 & \leq 3 a_{n}+9 \end{aligned} \)
Also ist die Folge beschränkt, weiter zeigen wir, dass sie streng monoton fällt:
\( \begin{aligned} a_{n+1} &<a_{n} \\ \frac{3 a_{n}+7}{a_{n}+3} &<a_{n} \\ 3 a_{n}+7 &<a_{n}^{2}+3 a_{n} \\ 7 &<a_{n}^{2} \\ \pm \sqrt{7} &<a_{n} \end{aligned} \)
Also ist die Folge streng monoton fallend. Somit konvergiert die Folge in diesem Intervall gegen \( a \). Für große \( n \) können wir somit \( a_{n}=a_{n+1}=a \) setzen:
\( \begin{aligned} a &=\frac{3 a+7}{a+3} \\ a^{2}+3 a &=3 a+7 \\ a^{2} &=7 \\ a &=\pm \sqrt{7} \end{aligned} \)
Da \( a_{n} \) kann nur \( +\sqrt{7} \) konvergieren, also ist das der Grenzwert.

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