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Ich habe diese Aufgabe in meinen Übungsblättern, weiß aber beim besten Willen nicht wie ich das lösen könnte..


\( \sum \limits_{i=0}^{n-1} x^{i} \)


Kann mir jemand hierbei helfen?



Liebe Grüße

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Welchen Wert hat n?

Und wie lautet die Aufgabe (das wo man nur noch "..en:" sieht)?

Also für n wurde kein Wert definiert.

Die Aufgabe lautet einfach nur:

„berechnen und vereinfachen Sie die folgenden Summen“

2 Antworten

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Aloha :)

Zur Berechnung der Summe$$S_n\coloneqq\sum\limits_{i=0}^nx^i$$schreiben wir ein \(x\) vor die Summe und subtrahieren das Ergebnis von \(S_n\). Das sieht zunächst komisch aus, macht aber gleich Sinn:

$$S_n-x\cdot S_n=\sum\limits_{i=0}^nx^i-x\cdot\sum\limits_{i=0}^nx^i=\sum\limits_{i=0}^nx^i-\sum\limits_{i=0}^nx^{i+1}=\sum\limits_{i=0}^nx^i-\sum\limits_{i=1}^{n+1}x^i$$Bei der letzten Summe haben wir eine Indexverschiebung vorgenommen. Wir nehmen aus der ersten Summe den ersten Summanden und aus der zweiten Summe den letzten Summanden heraus und finden:$$S_n-x\cdot S_n=\left(x^0+\sum\limits_{i=1}^nx^i\right)-\left(\sum\limits_{i=1}^{n}x^i+x^{n+1}\right)$$Die verbliebenen Summen heben sich gegenseitig weg und es bleibt:$$S_n-x\cdot S_n=1-x^{n+1}\implies S_n(1-x)=1-x^{n+1}\implies \boxed{S_n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}}$$

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\( \sum \limits_{i=0}^{n-1} x^{i}=\frac{x^{n}-1}{x-1} \)

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Aber wie kommt man denn auf dieses Ergebnis?

Sehr gute Frage. Man schreibt das Ergebnis auf für n=0, n=1, n=2.. usw. und erkennt dann das Muster. Jedenfalls ist mir nichts schlaueres eingefallen.

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