0 Daumen
533 Aufrufe
Gegeben seien die Ebenen ε1: -3x+y-z=-9 und ε2: 2x+2y+6z=14

1) Berechnen Sie eine Parameterdarstellung der Menge ε1 ∩ ε2

2) Bestimmen Sie jene Elemente von ε1 ∩ ε2, die vom Punkt M=(4/-2/0) denselben Abstand haben wie P= (2/0/-1).


 Bei Frage 1) habe ich eine Vorstellung aber Frage 2) kann ich leider nicht lösen.


LG
Avatar von

1 Antwort

+1 Daumen

1)

Die Schnittmenge der beiden Ebenen ermittelst du, in dem du die beiden Ebenen nach einer Variablen auflöst und dann gleichsetzt.

ε1: -3x+y-z=-9      ⇔    z = -3x+y+9

ε2: 2x+2y+6z=14  ⇔    z = -x/3 - y/3 + 7/3

 

Gleichsetzen:

-3x+y+9 = -x/3 - y/3 + 7/3   Ι*3

-9x +3y + 27 = -x - y +7

 y = 2x - 5

Setze: x = t

Also: y = 2t - 5

z mit einer der beiden Gleichungen oben errechnen: z = -3*t + 2t - 5 +9 = -t + 4

Also gilt für ε1∩ε2: r = (0;-5;4)T + t (1;2;-1)T

 

2) Abstand von M und P:

  d = √[(xP-xM)2+(yP-yM)2+(zP-zM)2]

  d = √[(-2)2+ 22+ (-1)2] = 9

 Sei S ein Punkt auf ε1∩ε2, dann gilt für xS = t; yS= 2t -5; zS=-t+4

 Abstand von M und S:

 d = √[(xS-xM)2+(yS-yM)2+(zS-zM)2] = √[(t-4)2+(2t-5 +2 )2+(-t+4 - 0)2] =√[ t2- 8t +16 + 4t2 -12t + 9 +t2- 8t +16] = √(6t2 - 28t +41)

Der Abstand muss 9 sein, also:

√(6t2 - 28t +41) = 9

t2 - 14/3 t + 41/6) = 27/2

pq:

t1 = 1/3* (7-√109)

t2 = 1/3* (7+√109)

Diese t-Werte jetzt noch in  ε1∩ε2 einsetzen und du hast deine Lösungen.

Avatar von 3,2 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community