Hallo,
Deine Ausführung am Anfang ist nicht allgemein richtig. Wenn wir eine \(m \times n\)-Matrix haben mit m<n, kann der Rang der Matrix maximal, also m sein, aber die n Spalten sind linear abhängig - n Vektoren im \(\mathbb{R}^m\).
Zu Deiner Frage: Der Gauß-Algorithmus ist fertig mit folgende Struktur:
$$A'=\begin{pmatrix}I & C \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Dabei ist I eine r-r-Matrix, wobei r der Rang von A ist, C ist eine r-k-Matrix, wobei r+k=n ist. Wenn jetzt x die Gleichung Ax=0, also auch A'x=0 erfüllt dann gilt:
$$x=\begin{pmatrix} -\sum_{j=r+1}^n x_j c_{1,j-r} \\ -\sum_{j=r+1}^n x_j c_{2,j-r} \\ \ldots \\ -\sum_{j=r+1}^n x_j c_{r,j-r} \\ x_{r+1} \\ \ldots \\ x_n \end{pmatrix}$$
Dafür kann ich auch schreiben:
$$x=\sum_{j=r+1}^n x_j v_j$$
wobei \(v_j\) gerade eine Spalte der von Dir beschriebenen Matrix aus \(-C\) und der darunter gesetzten Einheitsmatrix ist, also
$$v_j=\begin{pmatrix} -c_{1,j-r} \\ -c_{2,j-r} \\ \ldots \\ -c_{r,j-r} \\ 0 \\ \ldots \\ 1\\ \ldots \\ 0 \end{pmatrix}$$
Gruß