$$ j:R^2 \rightarrow R^3 ; j(\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} x-y\\y-x\\x \end{pmatrix}$$
Für den Kern :
$$ j(\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}$$
also x-y=0 und y-x=0 und x=0 also x=y=0.
==> Kern ( j ) = {0} Also Basis = ∅ dim(Kern(j)) = 0
Bild: Die Bilder sehen alle so aus
$$\begin{pmatrix} x-y\\y-x\\x \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x-y\\-x+y\\x \end{pmatrix}= x*\begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix}+y*\begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix}$$
Also ist eine Basis des Bildes $$\begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix};\begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix}$$
und dim(Bild(j))=2