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lim x-->0. ( x-sin(3x))/(x^2 e^x)

das Ergebnis ist 0 weil irgendwelche Zahl geteilt 0 ist 0

Meine Frage. Es gibt bestimmte Schritte um das zu lösen.

Kann jemand genau erklären?

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Aloha ;)

Es gibt die Regel von L'Hospital, die hier im Forum auch gerne "Krankenhaus-Regel" genannt wird. Diese sagt grob: Wenn Zähler und Nenner bei einem Grenzwert beide unabhängig voneinander gegen \(0\) oder beide unabhängig voneinander gegen \(\infty\) konvergieren, kann man Zähler und Nenner unabhängig voneinander ableiten, ohne den Grenzwert des Bruches zu ändern.

Hier haben wir offensichtlich so einen Fall, wo Zähler und Nenner für \(x\to0\) beide gegen \(0\) konvergieren. Wir wenden daher die Krankenhaus-Regel an:$$\lim\limits_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^2e^x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cos x}{2xe^x+x^2e^x}$$Das hat uns noch nicht wirklich weiter gebracht, denn auch nach dem Ableiten konvergieren Zähler und Nenner noch beide gegen \(0\). Also muss der Patient nochmal ins Krankenhaus. Wir wenden die Regel erneut an und rechnen weiter:

$$=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{2e^x+2xe^x+2xe^x+x^2e^x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{2e^x+4xe^x+x^2e^x}=\frac{0}{2+0+0}=0$$

Avatar von 152 k 🚀
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das Ergebnis ist 0 weil irgendwelche Zahl geteilt 0 ist 0

Falsch. Durch 0 darf man nicht teilen.

Hier geht der Nenner gegen 0, während der Zähler ungleich 0 ist, solange 0 noch nicht erreicht ist. Ein Grenzwert existiert nicht.

Avatar von 123 k 🚀

aber das Ergebnis ist 0/0=0 oder ist das falsch?

Um es nochmals deutlich zu sagen: 0/0=0 ist falsch - als Argument. Auch wenn in diesem Beispiel das Ergebnis 0  ist, wie T ausführlich hergeleitet hat.

Nochmal anders: 0/0=0 \(\rightarrow\)  0 Punkte.

Gruß

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