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Gegeben ist uns die Funktion \(f(x)=\sqrt{4-x^2}\) mit \(\mathbb D=[-2|2]\). Ihre Tangente im Punkt \((1|f(1))\) hat die Form:
$$t(x)=f(1)+f'(1)\cdot(x-1)$$Wegen \(f(1)=\sqrt{3}\) und$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{4-x^2}}\cdot(-2x)=\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}\implies f'(1)=-\frac{1}{\sqrt3}$$haben wir also:$$t(x)=\sqrt3-\frac{1}{\sqrt3}\cdot(x-1)=-\frac{x}{\sqrt3}+\sqrt3+\frac{1}{\sqrt3}=-\frac{x}{\sqrt3}+\frac{(\sqrt3)^2+1}{\sqrt3}=\frac{-x+4}{\sqrt3}$$
Der Graph der Funktion und die Tangente sehen so aus:
~plot~ sqrt(4-x^2) ; ; {1|sqrt(3)} ; (-x+4)/sqrt(3) ; [[-3|4,5|-1|4]] ~plot~
Neben der ersten Ableitung kannst du die Steigung auch mit Hilfe des Radius des Kreises bestimmen. Der Radius von \((0|0)\) zu \((1|f(1))\) hat die Steigung \(m=\frac{f(1)}{1}\). Er steht senkrecht auf der Tangenten, sodass für deren Steigung \(m_p\) gilt:$$m_p=-\frac{1}{m}=-\frac{1}{f(1)}=-\frac{1}{\sqrt3}$$
