Hallo,
das ist eine klassische Steckbriefaufgabe:
Der Graph einer ganz rationalen Funktion 3. Grades ...
heißt die Funktion und ihre Ableitung hat die Form $$f(x)=ax^3+bx+cx+d \\ f'(x)= 3ax^2+2bx + c$$
... berührt die x-Achse an der stelle x= 1
heißt: $$f(1)= 0, \quad f'(x)= 0$$
Im Punkt (3/2) ..
Da muss die Funktion durch$$f(3)=2$$
... besitzt er eine Tangente, die parallel zur Gleichung y=-9/4x verläuft
heißt$$f'(3)= - \frac 94$$das sind vier Bedingungen, die man in die Funktion bzw. ihre Ableitung einsetzt. Dann bekommt man ein lineares Gleichungssystem mit der Lösung$$f(x)=\frac 1{16}(-17x^3+93x^2-135x+59)$$
~plot~ {1|0};{3|2};-9(x-3)/4+2;(-17x^3+93x^2-135x+59)/16;[[-3|8|-2|6]] ~plot~
Da hier in einem Punkt \((3|2)\) sowohl die Funktion als auch ihre Steigung gegeben ist, kann man die Funktion um diesen Punkt 'entwickeln'. Der Ansatz wäre dann$$f(x) = a + b(x-3) + c(x-3)^2 + d(x-3)^3$$Aus der Information \(f(3)=2\) folgt dann direkt \(a=2\) und aus \(f'(3)=-9/4\) folgt unmittelbar \(b=-9/4\). Es bleibt dann nur noch$$f(x)= 2 - \frac94(x-3) + c(x-3)^2 + d(x-3)^3 \\f'(x)= - \frac94 + 2c(x-3) +3d(x-3)^2 $$Einsetzen der anderen Bedingungen gibt dann$$f(1)= 0 \implies 2 + \frac 92 + 4c - 8d = 0 \\ f'(0)=0 \implies - \frac94 - 4c + 12 d = 0 $$Und diese beiden Gleichungen braucht man nur noch addieren$$\implies \frac{17}4 + 4d = 0 \implies d = -\frac{17}{16}$$usw. ... das könnte einfacher sei, als ein LGS mit vier Unbekannten zu lösen.