Aloha :)
Der Fixvektor \(\vec x\) ändert sich nicht (mehr), wenn die Matrix auf ihn wirkt:
$$\left(\begin{array}{rrr}0,25 & 0,50 & 0,15\\0,50 & 0,25 & 0,25\\0,25 & 0,25 & 0,60\end{array}\right)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\Longleftrightarrow$$$$\left(\begin{array}{rrr}0,25 & 0,50 & 0,15\\0,50 & 0,25 & 0,25\\0,25 & 0,25 & 0,60\end{array}\right)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\Longleftrightarrow$$$$\left(\begin{array}{ccc}0,25-1 & 0,50 & 0,15\\0,50 & 0,25-1 & 0,25\\0,25 & 0,25 & 0,60-1\end{array}\right)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$Das können wir mit Gauß lösen:
$$\begin{array}{rrr|r|l}x_1 & x_2 & x_3 & = & \text{Aktion}\\\hline-0,75 & 0,5 & 0,15 & 0 &+3\cdot Z_3\\0,5 & -0,75 & 0,25 & 0 &-2\cdot Z_3\\0,25 & 0,25 &-0,4 & 0 &\cdot\,4\\\hline0 & 1,25 & -1,05 & 0 &+Z_2 \\0 & -1,25 & 1,05 & 0 & \cdot\,(-\frac{4}{5}) \\1 & 1 &-1,6 & 0 &\\\hline0 & 0 & 0 & 0 &\\0 & 1 & -0,84 & 0 & \\1 & 1 &-1,6 & 0 &-Z_2\\\hline0 & 0 & 0 & 0 &\\0 & 1 & -0,84 & 0 &\Rightarrow x_2=0,84\cdot x_3 \\1 & 0 &-0,76 & 0 &\Rightarrow x_1=0,76\cdot x_3\end{array}$$An \(x_3\) werden nach dem Gauß-Verfahren keine Anforderungen gestellt, sodass diese Koordinate beliebig gewählt werden kann. Damit gibt es unendlich viele Fixvektoren:$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,76x_3\\0,84x_3\\x_3\end{pmatrix}=x_3\begin{pmatrix}0,76\\0,84\\1\end{pmatrix}$$
Da du hier relative Werte brauchst, muss die Summe der Komponenten \(1\) ergeben:$$0,76+0,84+1=2,6\implies x_3=\frac{1}{2,6}$$Damit lautet der gesuchte Fixvektor:$$\vec x=\begin{pmatrix}0,2923\\0,3231\\0,3846\end{pmatrix}$$
