Monotonie einer rekursiven Folge bestimmen

Question

Aufgabe: Monotonie einer rekursiven Folge bestimmen. (Die Folge ist monoton steigend)

a₁  = \( \frac{1}{4} \)    a_n  = a^2 _n-1 + \( \frac{1}{4} \)     n=2,3,4...
Problem/Ansatz:

Ich habe bei der Beschränktheit bewiesen an und a_n+1   < \( \frac{1}{2} \) .

Jetzt muss ich ja zeigen:  a_n+1 - a_n > 0 bzw.  a_n+1    > a_n.   Aber wie gehe ich da am Besten vor, damit ich die Aussage mit der Beschränktheit beweisen kann.

Danke Zeppi

Answer 1

a_n+1 - a_n = a_n^2 + 1/4 - a_n =( a_n - 1/2) ^2  ≥ 0

und sogar >0  wenn a_n ≠  1/2 und das hast du

ja schon.

Comments

Danke für die schnelle Antwort

Answer 2

\(\begin{aligned} a_{n} & =a_{n-1}^{2}+\frac{1}{4}\\ \implies a_{n}-a_{n-1} & =a_{n-1}^{2}+\frac{1}{4}-a_{n-1}\\ & =a_{n-1}^{2}-2\cdot\frac{1}{2}a_{n-1}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\\ & =\left(a_{n-1}-\frac{1}{2}\right)^{2}\\ & \geq0 \end{aligned}\)

die Aussage mit der Beschränktheit beweisen

Es gibt keinen Grund, die Beschränktheit zu nutzen um die Monotonie zu beweisen.

Comments

Danke für die ausführliche Antwort.

Aber kann man nicht auch einfach nur > 0 schreiben, weil a_n < 1/2 ist?

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einfach nur > 0 schreiben

Braucht man für die Monotonie nicht.

weil a_n < 1/2 ist?

Dann ist \(a_n - a_{n-1} > 0\) und die Folge somit streng monoton.

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Ah danke. Ich verstehe.