Aloha :)
Eine Matrix \(\mathbf A\) beschreibt eine lineare Transformation (Drehung, Verzerrung, Spiegelung) eine Vektors \(\vec x\). Bei einer solchen Transformation kann es Vektoren geben, die ihre Richtung beibehalten und nur verlängert oder verkürzt werden. Zum Beispiel bleibt bei der Drehung um eine Achse die Drechachse ungeändert. Für solche Vektoren gilt dann die Gleichung:$$\mathbf A\cdot\vec x=\lambda\cdot\vec x\quad\text{(Eigenwertgleichung)}$$
Der Vektor \(\vec x\) ändert also seine Richtung nicht, kann aber um einen Faktor \(\lambda\) gestreckt oder gestaucht werden. Solche Vektoren \(\vec x\), die ihre Richtung nicht ändern, heißen Eigenvektoren. Die zugehörigen Faktoren \(\lambda\) heißen Eigenwerte.
Der Nullvektor \(\vec x=\vec 0\) erfüllt die Eigenwertgleichung natürlich immer. Daher wird der Nullvektor nicht als Eigenvektor zugelassen.
Beim Eigenwert-Problem geht es darum, die Eigenwerte und Eigenvektoren einer Transformation bzw. einer Matrix zu bestimmen. Das ist aber sehr simpel. Du kannst auf der rechten Seite der Eigenwertgleichung den Vektor \(\vec x\) mit der Einheitsmatrix \(\mathbf 1\) multiplizieren und dann alles auf eine Seite des Gleichheitszeichens schreiben:
$$\mathbf A\cdot\vec x=\lambda\cdot\mathbf1\cdot\vec x\quad\Longleftrightarrow\quad \mathbf A\cdot\vec x-\lambda\cdot\mathbf1\cdot\vec x=\vec 0\quad\Longleftrightarrow\quad \left(\mathbf A-\lambda\cdot\mathbf1\right)\cdot\vec x=\vec 0$$Es entsteht ein lineares Gleichungssystem. Wenn die Matrix \((\mathbf A-\lambda\cdot\mathbf 1)\) invertierbar ist, lautet die einzige Lösung dieses Gleichungssystems \(\vec x=\vec 0\). Da der Nullvektor aber kein Eigenvektor ist, sind wir genau an diesen Fallen nicht interessiert. Wir suchen diejenigen \(\lambda\) für die die Matrix \((\mathbf A-\lambda\cdot\mathbf 1)\) nicht invertierbar ist. Das heißt, es muss gelten:$$\operatorname{det}(\mathbf A-\lambda\cdot\mathbf 1)\stackrel!=0\quad\text{(charakteristisches Polynom)}$$
Die Nullstellen \(\lambda_i\) dieses sog. charakteristischen Polynoms sind die Eigenwerte der Matrix \(\mathbf A\). Sobald diese Eigenwerte berechnet sind, kannst du sie in die Eigenwertgleichung einsetzen und das Gleichungssystem lösen. Die daraus resultierenden Lösungsvektoren \(\vec x_i\) sind dann die zu dem Eigenwert gehörenden Eigenvektoren.
