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Bei folgender Aufgabe komme ich nicht weiter :

 Eine Urne enthäalt 4 rote, 6 grüne und 8 blaue Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim Ziehen von 6 Kugeln 1 rote, 2 grüne und 3 blaue zuerhalten.

a) mit zurücklegen

Über Hilf würde ich mich sehr freuen :D

Grüße
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Da man wohl statistische Unabhängigkeit voraussetzen kann, beträgt die Wahrscheinlichkeit, 1 rote, 2 blaue und 3 grüne Kugeln in genau einer bestimmten Reihenfoge zu ziehen: 

P("1 Rote und 2 Blaue und 3 Grüne in genau einer bestimmten Reihenfolge")

= P("1 Rote" ) * P ("2 Blaue") * P ("3 Grüne")

= ( 4 / 18 ) *( 6 / 18 ) 2 * ( 8 / 18 ) 3

≈ 0,00216769

Da es aber auf die Reihenfolge nicht ankommt, müssen alle unterscheidbaren Möglichkeiten gezählt werden, diese Kugeln anzuordnen. Dazu kann man den Multinomialkoeffizienten

$$\frac { n! }{ { k }_{ 1 }!*{ k }_{ 2 }!*{ ...*k }_{ r }! }$$

nutzen. Dieser beschreibt gerade die Anzahl der unterscheidbaren Anordnungen von n Objekten, die in r Gruppen zu jeweils kr nicht unterscheidbaren Objekten eingeteilt werden können.

Vorliegend gibt es n = 6 Objekte, die in r = 3 Gruppen nicht unterscheidbarer Objekte eingeteilt werden können, nämlich in die 3 Gruppen

{ rot }
{ blau, blau }
{ grün , grün , grün }

Es gilt also:

k1 = 1
k2 = 2
k3 = 3

Damit gibt es

$$\frac { 6! }{ 1!*2!*3! } =\frac { 720 }{ 12 } =60$$

unterscheidbare Möglichkeiten, diese 6 Kugeln anzuordnen. Kommt es also wie vorliegend nicht auf die Reihenfolge an, in der die Kugeln gezogen werden, dann muss die Wahrscheinlichkeit für eine ganz bestimmte Reihenfolge (siehe oben ) mit der Anzahl der unterscheidbaren Reihenfolgen multipliziert werden, um die Wahrscheinlichkeit für eine beliebige Reihenfolge der Kugeln zu berechnen.

Die gesuchte Wahscheinlichkeit beträgt daher:

P("1 Rote und 2 Blaue und 3 Grüne in beliebiger Reihenfolge")

= P("1 Rote und 2 Blaue und 3 Grüne in genau einer bestimmten Reihenfolge")
* Anzahl Reihenfolgen

= 0,00217 * 60 ≈ 0,1302 = 13,02 %

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es gibt für das Ergebnis 1 rote, 2 grüne und 3 blaue Kugeln folgende Reihenfolgen:

bbbxxx und für die 3x jeweils 3 mögliche Reihenfolgen 1 rote und 2 grüne Kugeln (rgg, grg, ggr)

bbxbxx

bbxxbx

bbxxxb

bxbbxx

bxbxbx

bxbxxb

bxxbbx

bxxbxb

bxxxbb

xbbbxx

xbbxbx

xbbxxb

xbxbbx

xbxbxb

xbxxbb

xxbbbx

xxbbxb

xxbxbb

xxxbbb

Insgesamt gibt es also 20 * 3 = 60 mögliche Reihenfolgen des genannten Ergebnisses.

Die Wahrscheinlichkeit für eines dieser 60 Reihenfolgen berechnet sich wie folgt

P(r,gg,bbb) = 4/18 * 6/18 * 6/18 * * 8/18 * 8/18 * 8/18 - wir legen die Kugeln ja zurück, so dass sich die Wahrscheinlichkeiten nicht ändern.

P(r,gg,bbb) = 73.728/34.012.224

Da es aber 60 (voneinander unabhängige) Reihenfolgen gibt, müssen wir dies noch mit 60 multiplizieren und erhalten als Gesamtwahrscheinlichkeit

P = (73.728 * 60)/34.012.224 ≈ 0,1300614744 ≈ 13%


Besten Gruß
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