binomischer Lehrsatz komplexe Differenzierbarkeit

Question

Aufgabe:

Wie kann ich mit dem binomischen Lehrsatz die komplexe Differenzier-barkeit der Monome z → zn, n ∈ N in einem beliebigen Punkt z ∈ C beweisen? Ich komme leider nicht weiter und wäre dankbar für jede Hilfe!

Answer 1

Hallo,

ich denke, dass die Aufgabe eher darin besteht, direkt die Differenzierbarkeit mit Hilfe des Differenzenquotienten zu überprüfen, also

$$\lim_{h \to 0}\frac{1}{h}((z+h)^n-z^n)??$$

Nun benutzen wir den binomischen Lehrsatz und trennen die letzten beiden Terme ab (für n=2,3,...):

$$(z+h)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}z^k h^{n-k}=z^n+nz^{n-1}h+\sum_{k=0}^{n-2} {n \choose k}z^k h^{n-k}$$

Der erste Summand hebt sich im Differenzquptienten weg. Der zweite liefert die gewünschte Ableitung. Und der Rest enthält den Faktor h mindestens mit der Potenz 2 liefert also im Grenzwert den Beitrag 0.

Gruß Mathhilf

Comments

Vielen Dank!

Answer 2

Hallo,

folgende Idee:

sei z = x + iy ∈ ℂ

und z -> f(z) = u(x,y) + i•v(x,y) eine komplexwertige Funktion, mit u(x,y), v(x,y) ∈ ℝ
f ist komplex differenzierbar <=>https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe_Funktion#Definitionen ... <=>

es gelten die https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe_Funktion#Cauchy-Riemannsche_Differentialgleichungen

ux=vy und uy =−vx

(Was ihr in der komplexen Differenzierbarkeit kennengelernt habt, weiß ich nicht. Benutze das Kriterium, das du benutzen darfst)

Du kannst nun einen Induktionsbeweis versuchen:

Induktionsanfang: f(z) = z^1 = z ist komplex differenzierbar.
(ist einfach zu zeigen)

Annahme: z -> zⁿ ist komplex differenzierbar

Zu zeigen ist, dass daraus folgt: z -> zⁿ⁺^1 ist komplex differenzierbar.

Die Monome zⁿ kann man ja folgendermaßen schreiben: zⁿ = (x + iy)ⁿ ,

zⁿ⁺^1 = (x + iy)ⁿ⁺^1

und auf die Terme in den Klammern kannst du den binomischen Lehrsatz anwenden.

Versuche mal, ob du damit weiterkommst.

Gruß