Aufgabe:
Ich habe ein Polynom gegeben, welches ich ableiten soll.
Das Polynom ist gegeben als:
w(x) = ∏i=0 n(x-xj)
Ich brauche den Ausdruck w´(xi)
-> Hat mir jdm einen Tipp, wie ich das ableiten kann? Durch das Produkt weiß ich nicht wie ich da rangehen kann
Hallo,
benutze doch zunächst die Produktregel für das Produkt aus dem ersten Term und dem Rest. Und im folgenden wiederhole dies immer wieder ...$$w(x) = \prod_{j=0}^{n}(x-x_{j}) = (x-x_0) \cdot \prod_{j=1}^{n}(x-x_{j})\\ \begin{aligned} w'(x) &= \prod_{j=1}^{n}(x-x_{j}) + (x-x_0)\left( \prod_{j=1}^{n}(x-x_{j})\right)' \\ &= \prod_{j=1}^{n}(x-x_{j}) + (x-x_0)\left( \prod_{j=2}^{n}(x-x_{j}) + (x-x_1)\left(\prod_{j=2}^{n}(x-x_{j})\right)' \right) \\&= \dots \end{aligned}$$wenn Du Dir nun die einzelnen Summanden ansiehst, so enthält jeder Summand das Produkt exklusiv eines Terms. D.h. man kann dafür schreiben$$w'(x) = \sum_{k=0}^n \frac{\prod_{j=0}^{n}(x-x_{j})}{x - x_k}$$oder definiere eine Funktion \(d(j,k) = \{0,\,1\}\) mit$$w'(x) = \sum_{k=0}^n \prod_{j=0}^{n}(x-x_{j})\cdot d(j,k), \quad d(j,k)= \begin{cases} 1 &\text{für } j \ne k \\ 0 &\text{für } j=k \end{cases} $$Gruß Werner
Vielen, vielen Dank!
An der Stelle bin ich bei einem Beweis stecken geblieben, jetzt verstehe ich es :)
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