Aloha :)
Damit die Funktion stetig ist, darf sie an der kritischen Stelle \(x=1\) keinen Sprung machen. Das heißt, der Funktionswert für beide Alternativen muss bei \(x=1\) derselbe sein:
$$\left.\ln(1)+3=a\cdot e^1+4\quad\right|\ln(1)=0$$$$\left.3=a\cdot e+4\quad\right|-4$$$$\left.-1=a\cdot e\quad\right|\colon e $$$$a=-\frac{1}{e}$$