Wenn a_n gegen a konvergiert, konvergiert dann |a_n| gegen |a|?

Question

Aufgabe:

Wenn eine Folge a_n gegen a konvergiert wie zeige ich das der betrag der folge auch gegen den betrag des Grenzwertes konvergiert

Problem/Ansatz:

ich denke seit Tagen nach aber komme nicht drauf..

Answer 1

Hallo,

angenommen \(a_n\) konvergiert gegen \(a\). Das heißt in Zeichen, dass für alle \(\varepsilon >0\) ein \(N\in \mathbb{N}\) exisitiert, so dass für alle \(n\geq N\) gilt: \(|a_n-a|<\varepsilon\).

Du willst nun mit dieser Voraussetzung zeigen, dass \(|a_n|\xrightarrow{n\to \infty} |a|\) gilt. Nach der umgekehrten Dreiecksungleichung gilt:$$||a_n|-|a||\leq |a_n-a|<\varepsilon$$ Du weißt aber bereits, dass es für alle \(\varepsilon >0\) ein \(N\in \mathbb{N}\) gibt, so dass für alle \(n\geq N\) doch \(|a_n-a|<\varepsilon\) gilt. Daher ist die Aussage richtig.