Potenzreihe aus Anfangswertproblem herleiten

Question

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Ich habe folgendes Anfangswertproblem gegeben:

\( \left\{\begin{array}{l}u^{\prime}(x)=2 x \cdot u(x), \quad x \in \mathbb{R} \\ u(0)=1\end{array}\right. \)

Es soll nun formal die Potenzreihendarstellung von u(x) durch Koeffizientenvergleich hergeleitet werden. Wie mache ich das?

Anschließend soll noch das größte Intervall angegeben werden, auf dem die Potenzreihe konvergiert und gleich u(x) ist.

Vielleicht kann mir jemand zumindest beim ersten Teil der Aufgabe helfen, den zweiten würde ich dann vielleicht hinbekommen.
Vielen Dank!

Answer 1

Hallo

$$u(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n; u'(x)=\sum \limits_{n=1}^{\infty}n*a_n*x^{n-1}$$

und u(0)=1 folgt a_0=1

jetzt einsetzen und Koeffizientenvergleich.

da die Dgl leicht durch Trennung der Variablen gelöst werden kann, kannst du deine Reihe damit vergleichen.

Gruß lul

Comments

Danke für die Antwort.
Wie funktioniert denn der Koeffizientenvergleich? Und wie komme ich dadurch auf meine Reihe?
danke

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Hallo

mit bekannten a0 jetzt u' bilden, dann u'(0) einsetzen und a1 bestimmen , dann u'' bilden usw.

Gruß lul