Mengenlehre Vereinigungs- und Schnittmenge mit Unendlichkeit

Question

Aufgabe:

Für \( n \in \mathbb{N} \) sei

\(M_{n}:=\left\{x \in \mathbb{Q}:\left(x>-\frac{1}{n}\right) \wedge\left(x<\frac{1}{n}\right)\right\}\)

Bestimmen Sie

\(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} M_{n}=\bigcup_{n=1}^{\infty} M_{n} \quad \text { und } \quad \bigcap_{n \in \mathbb{N}} M_{n}=\bigcap_{n=1}^{\infty} M_{n}\)

Problem/Ansatz:

Hallöchen,

stehe bei der Aufgabe komplett auf dem Schlauch, da ich nicht ganz weiß, was verlangt ist. Habe es aber mal probiert und wollte fragen, ob meine Lösung/Ansatz richtig ist.

Habe mir die Schreibweise mal angeschaut und glaube, dass die Schnitt- und Vereinigungmenge von der Unendlichkeit und M_n bei n = 1 gesucht wird. Korrigiert mich bitte, falls ich komplett daneben liege.

M_n bei n=1: = {Alle x∈ℚ , die kleiner als 1 und größer als -1 sind}

Für die Vereinigungsmenge habe ich hierbei := {∞}

Für die Schnittmenge : {x∈ℚ: (x > -1) ∧ (x < 1)}

Answer 1

M_n bei n=1: = {Alle x∈ℚ , die kleiner als 1 und größer als -1 sind}

Und das ganze noch für n=2, n=3, ... . Dann hast du einen guten überblick, wie die M_n aussehen.

Dann wirfst du alle Zahlen in einen Topf und hast \(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} M_{n}\)

Für die Vereinigungsmenge habe ich hierbei := {∞}

Alle Elemente von jedem M_n sind rationale Zahlen. ∞ ist keine rationale Zahl. Alleine aus diesem Grund kann \(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} M_{n} = \{\infty\}\) nicht sein.

Außerdem passt ":=" da nicht . Das Zeichen ":=" bedeutet "wird definiert als".

\(\bigcap_{n \in \mathbb{N}} M_{n}\)

Das ist die Menge aller rationalen Zahlen, die Element von jedem der M_n ist.

Für die Schnittmenge : {x∈ℚ: (x > -1) ∧ (x < 1)}

\(\frac{2}{3}\) ist Element dieser Menge. \(\frac{2}{3}\) ist aber nicht Element von M₂. Also kann das nicht die Schnittmenge sein.

Comments

Vielen Danke für die Rückmeldung!

Das ganze werde ich mir nochmal durch den Kopf gehen lassen :)