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Aufgabe:

4 Bestimmen Sie alle Vektoren, die zu \( \vec a\) und zu \( \vec b \) orthogonal sind.a) \( \vec{a}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \vec{b}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 3\end{array}\right) \) b) \( \vec{a}=\left(\begin{array}{r}2 \\ 3 \\ -1\end{array}\right), \vec{b}=\left(\begin{array}{r}5 \\ -1 \\ -2\end{array}\right)  \)c) \( \vec{a}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 5\end{array}\right), \vec{b}=\left(\begin{array}{r}4 \\ -1 \\ 5\end{array}\right) \)


Problem/Ansatz:

Kann mir einer zeigen, wie das geht ?

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Hallo,

du brauchst kein Gleichungssystem, wenn du das Kreuzprodukt der Vektoren a und b berechnest. Weißt du, wie das geht?

Gruß, Silvia

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könntest du z.b a) vorrechnen, damit ich ein Bild habe

Eine Aufgabe zum Kreuzprodukt finde ich schwierig zu schreiben. Schau dir dieses Video ab 1:22 an

Ich erhalte dann für deine Aufgabe a) \( \begin{pmatrix} 6\\3\\-4 \end{pmatrix} \)

Diesen Vektor kannst du mit einer beliebigen Zahl multiplizieren, also lautet die Antwort

\(r\cdot \begin{pmatrix} 6\\3\\-4 \end{pmatrix}\)

Ich erhalte dann für deine Aufgabe a) \( \begin{pmatrix} 6\\3\\4 \end{pmatrix} \)

Hallo Silvia,

da fehlen aber ein oder zwei Minuszeichen.

:-)

Oups, also ich sehe eins und korrigiere es.

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a)

Skalarprodukt gleich Null:

1x+2y+3z=0

2x+0y+3z=0 → 3z= -2x einsetzen


1x+2y-2x=0 → x=2y

Eine Variable kann beliebig gewählt werden.

Z.B. z=4 -->  x=-6 → y=-3

Eine Lösung ist also \( \begin{pmatrix} -6\\-3\\4 \end{pmatrix} \).

Alle Lösungen sind Vielfache davon:

\( r\cdot\begin{pmatrix} -6\\-3\\4 \end{pmatrix}~~~~~r\in\R \).

b)

Skalarprodukt:

2x+3y-1z=0

5x-1y-2z=0

Zwei Gleichungen mit drei Variablen, d.h. es kann keine eindeutige Losung geben. Das ist such logisch, da unendlich viele Vektoren zu a und b orthogonal sind.

Eine Variable eliminieren, z.B. y. Dazu 2. Gleichung *3.

2x+3y-1z=0

15x-3y-6z=0

Addieren: 17x-7z=0 → 17x=7z

Eine Variable können wir frei belegen. Um einfache Zahlen zu bekommen, wähle ich x=7.

Dann ist z=17.

y mit der ersten Gleichung bestimmen:

3y=z-2x=17-2*7=3 → y=1

Nun die Probe:

2x+3y-1z=0 → 14+3-17=0 ✓
5x-1y-2z=0 → 35-1-34=0 ✓

Eine Lösung ist also\( \begin{pmatrix} 7\\1\\17 \end{pmatrix} \).

Hatten wir für x einen anderen Wert (außer Null) gewählt, ware ein Vielfaches des Lösungsvektors herausgekommen.

Also müssen wir noch mit r multiplizieren.

\(r\cdot \begin{pmatrix} 7\\1\\17 \end{pmatrix}~~~~~r\in\R \)

:-)

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ich glaube, dass ich das mit dem LGS machen muss

Zwei Gleichungen sind ein LGS.

:-)

ich verstehe die schritte nicht ganz

Hast du dir das Video angesehen?

teilweise aber icfh muss das mit dem lgs lösen

a) -1,5x3/-0,75x3/0) b)-5x2/-0,2x1/2x1+3x1 c)-2x2-5x3/-15/9x3/3/10x2) so habe ich das

a) -1,5x3/-0,75x3/0)

Ich habe so gerechnet:
\(I.\;x+2y+3z=0\\ II.\;2x+3z=0\)

und z = 1 bestimmt

Daraus ergibt sich

\(x+2y=-3\\2x=-3\\ x=-\frac{3}{2}\)...

Damit habe ich den Vektor \(\vec{n}=\begin{pmatrix} -1,5\\-0,75\\1 \end{pmatrix}\)

Jetzt schau dir nochmal die Lösungen von Monty und mir an und du siehst, dass unsere Vektoren ein Vielfaches dieses Vektors sind, falls ich mich nicht wieder verschrieben habe.




@Silvia:

Alles richtig!

@Riddler:

a) -1,5x3/-0,75x3/0) 

Fast richtig. Allerdings ist die dritte Koordinate nicht 0, sondern x3.

\( \begin{pmatrix} -1,5x_3\\-0,75x_3\\x_3 \end{pmatrix} \\=x_3\cdot\begin{pmatrix} -1,5\\-0,75\\1\end{pmatrix}\\=r\cdot\begin{pmatrix} -6\\-3\\4\end{pmatrix} \)

Puh, da bin ich aber froh! :-)

@Riddler

Ich habe meine Antwort ergänzt.

:-)

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am einfachsten über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) a kreuz b=c

der Vektoe c(cx/cy/cz) steht senkrecht auf der Fläche,die von den Vektoren a und b aufgespannt wird

(1/2/3) kreuz (2/0/3)=(6/3/-4)  mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio)

oder ober das Skalarprodukt a*b=ax*bx+ay*by+az*bz=0

1) a*c=1*cx+2*cy+3*cz=0

2) b*c=2*cx+0*cy+3*cz=0

wir setzen cz=1

1) 1*cx+2*cy=-3

2) 2*cx+0*cy=-3

cx=-1,5 und cy=-0,75 und cz=1  c(-1,5/-0,75/1) multipliziert mit -4 → c(6/3/-4) stimmt

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