Aufgabe:
Es seien \( V \) eine euklidische Ebene, \( \mathscr{B}:=\left(b_{1}, b_{2}\right) \) eine Orthonormalbasis von \( V \) und \( L \in O(V) \) eine orthogonale Abbildung.
(a) Zeigen Sie, dass \( L \) genau dann eine uneigentliche orthogonale Abbildung ist, wenn die Darstellungsmatrix bezüglich \( \mathscr{B} \) die Form
\( M_{\mathscr{B}}^{\mathscr{B}}(L)=\left(\begin{array}{cc} \cos \vartheta & \sin \vartheta \\ \sin \vartheta & -\cos \vartheta \end{array}\right)=: \quad S(\vartheta) \)
mit einem \( \vartheta \in \mathbb{R} \) besitzt.
(b) Bestimmen Sie die Eigenwerte und zugehörigen Eigenräume von \( S(\vartheta) \).
(c) Interpretieren Sie die uneigentlichen orthogonalen Abbildungen unter geometrischen Gesichtspunkten: Was bedeuten die gefunden Eigenwerte und Eigenvektoren geometrisch? Wie sieht die Fixpunktmenge Fix \( (L) \) aus? Welche Rolle spielt dabei \( \vartheta \) und ist dieses \( \vartheta \) eindeutig durch \( L \) bestimmt? Falls nicht - wie muss man \( \vartheta \) einschränken, damit dieses eindeutig wird?
(d) Zeigen Sie, dass \( S\left(\vartheta_{1}\right) \cdot S\left(\vartheta_{2}\right) \) für \( \vartheta_{1}, \vartheta_{2} \in \mathbb{R} \) die Darstellungsmatrix einer eigentlichen orthogonalen Abbildung ist. Bestimmen Sie weiter den Drehwinkel dieser eigentlichen orthogonalen Abbildung. Hinweis: Sie dürfen in der gesamten Aufgabe ohne Beweis die Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen nutzen.
