DGL 2. Ordnung - inhomogen - partikuläre Lösung

Question

DGL 2. Ordnung - Lösung einer inhomogenen Gleichung - partikuläre Lösung

DGL:   y^''+8y^'+16y=e^-4x

Mein Ansatz:

Text erkannt:

Charakteristische Gleichung: \( \lambda^{2}+8 \lambda+16=0 \rightarrow \lambda_{1}=\lambda_{2}=-4 \)
Lösung der homogenen DGL: \( \mathrm{y}_{\mathrm{h}}(\mathrm{x})=\left(\mathrm{C}_{1} \mathrm{x}+\mathrm{C}_{2}\right) * \mathrm{e}^{-4 \mathrm{x}} \)

Nächster Schritt wäre die partikuläre Lösung: y= y_h  + y_p

yp=A*e^-4x y'p= -4A*e^-4x , y"= -16A*e^-4x

Die Lösung meines Dozenten ist jedoch folgende:

Text erkannt:

\( y_{p}=A x^{2} e^{-4 x} ; y_{p}^{\prime}=\left(2 A x-4 A x^{2}\right) * e^{-4 x} \)
\( y_{p}^{\prime \prime}=\left(16 A x^{2}-16 A x+2 A\right) * e^{-4 x} \)

Wie ist er auf das x² gekommen?  Die Störfunktion der DGL ist doch lediglich e^-4x und nicht x² * e^-4x ??

Oder hat er sich da vertan? Was ist der richtige Ansatz für die partikuläre Lösung? bin da verwirrt

danke

Answer 1

Hallo,

Der Ansatz vom Dozenten ist richtig. -4 der Störfunktion ist doppelte Lösung der charakt. Gleichung

(doppelte Resonanz)

siehe hier

http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

Seite 2, Punkt2; 3.Zeile

Comments

Danke für die Antwort.

Also wird der partikuläre Ansatz mit x multipliziert, sobald die Störfunktion in der Lösung der homogenen DGL enthalten ist, also Resonanz vorliegt, richtig?

---

Es gibt noch eine allgemeine Formel dazu:

yp=c*x^k *e^(ax)

k ist die Vielfachheit der Nullstelle der charakt.Gleichung:

in unserem Fall ist k= 2 , also 2 Mal -4

->

Ansatz:

yp=c*x^2 *e^(-4x)